Zadanie

Mišo a Mišo ša rozhodujú, ako najrýchlejšie zohnať všetko potrebné, tak ša zaštavili pri mape obchodu. Jeden potrebuje prejšť uličku šo zeleninou, druhý uličky š mäšom. Potrebujú overiť, či obaja prejdú rovnakú vzdialenošť.

Predajňa Kópu má tvar trojuholníka \(ABC\). Tomu vpíšeme kružnicu a označme \(\check{S}\) jej štred. Uvažujme rovnobežku šo štranou \(AC\) prechádzajúcu bodom \(\check{S}\) a označme \(M\) jej priešečník šo štranou \(AB\). Podobne uvažujme rovnobežku šo štranou \(BC\) prechádzajúcu bodom \(\check{S}\) a označme \(N\) jej priešečník šo štranou \(AB\). Dokážte, že obvod trojuholníka \(MN\check{S}\) je rovnaký ako dĺžka štrany \(AB\).

Ako by sme mohli dokázať, že obvod trojuholníka \(SMN\) (\(O_{SMN}\)) je rovnaký ako dĺžka strany \(AB\)? Obe sa skladajú z troch úsečiek (trojuholník \(SMN\) z úsečiek \(SM, MN, NS\), strana \(AB\) z úsečiek \(AM, MN, NB\)) a dokonca jednu z nich, úsečku \(MN\), majú spoločnú. Môže nám napadnúť, čo keby platilo, že všetky tri úseky obvodu \(SMN\) sú rovnako dlhé ako úseky strany \(AB\), t. j. čo keby platilo \(|AM|=|MS|\) a \(|NS|=|NB|\)? Toto nemusí byť pravda na to, aby \(|AB|=O_{SMN}\), ale ak by to bola pravda a podarilo by sa nám to dokázať, tak dokážeme aj rovnosť \(|AB|=O_{SMN}\). Tak poďme na to.

Stred vpísanej kružnice \(S\) je priesečníkom osí uhlov trojuholníka \(ABC\), takže \(AS\) je os uhla \(CAM\). To znamená \(|\sphericalangle CAS|=|\sphericalangle SAM|\), označme tieto uhly \(\alpha\). Keďže \(CA\) a \(SM\) sú rovnobežné, využitím striedavých uhlov dostávame, že \(|\sphericalangle MSA|=|\sphericalangle SAC|=\alpha\). Vidíme, že uhly \(MAS\) a \(MSA\) majú rovnakú veľkosť \(\alpha\), takže trojuholník \(AMS\) je rovnoramenný. Preto jeho ramená majú rovnakú dĺžku, \(|AM|=|MS|\).

image

Analogicky sa dokáže, že trojuholník \(SNB\) je rovnoramenný, teda \(|SN|=|NB|\). Dokázali sme, že obvod trojuholníka \(SMN\) a úsečka \(AB\) sa skladajú z troch rovnakých úsekov \[O_{SMN}=|SM|+|MN|+|NS|=|AM|+|MN|+|NB|=|AB|,\] a teda majú rovnakú dĺžku.

Poznámky

  1. Viacerí z vás vo svojom riešení rozpisovali aj dôkaz rovnoramennosti trojuholníka \(SNB\), napriek tomu, že je to v podstate presne to isté ako dôkaz rovnoramennosti \(AMS\). Samozrejme to nie je chyba, ale prečo si neušetriť robotu, keď sa dá. Dôvod prečo toto netreba rozpisovať je, že trojuholníky \(AMS\) a \(SNB\) sú symetricky definované vzhľadom na výmenu bodov \(A, B\). To znamená, že keby sme označili body \(A, B\) naopak, tak trojuholníky \(AMS\) a \(SNB\) sa vymenia, takže ak je jeden rovnoramenný, tak zo symetrie musí byť aj druhý rovnoramenný.

  2. Na dôkaz rovnoramennosti trojuholníka \(ASM\) sme potrebovali vyjadriť uhol \(ASM\). Iný spôsob ako vyjadriť tento uhol je, že uhly \(CAM\) a \(SMN\) sú súhlasné, takže \(|\sphericalangle SMN|=2\alpha\), \(|\sphericalangle SMA|=180^\circ-2\alpha\) a uhol \(ASM\) dopočítame z trojuholníka \(ASM\), kde súčet vnútorných uhlov musí byť \(180^\circ\).

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.