Zadanie
Počaš chlebovej krízy ši Mišovia zašli na obed do štravovacieho zariadenia. Jedlá a nápoje šú označené prirodzenými číšlami, pričom ponúkajú kofolu (\(k\)), mäšo (\(m\)) a šaláty (\(\check{s}\)). V zľave šú však len išté kombinácie.
Určte všetky trojice kladných celých číšel \((k,\, m,\, \check{s})\), pre ktoré platí \[km\check{s}=3(k+m+\check{s}).\]
Označme: \(L := k m \check{s}\), \(P := 3(k + m + \check{s})\).
Prvým zjavným pseudoriešením úlohy je \(k = m = \check{s} = 3\). Čo je to však pseudoriešenie? Jednoducho ide o jedno správne riešenie našej úlohy, pričom nejaké ďalšie správne riešenia vieme dostať tak, že preusporiadame hodnoty nášho pseudoriešenia. Nejde však o nejak štandardizovaný pojem.
Poďme sporom dokázať, že nesmie súčasne platiť \(k > 2 \land m > 2 \land \check{s} > 2\), okrem prípadu kedy \(k = m = \check{s} = 3\). Predpokladajme, že by mohlo platiť \(k > 2 \land m > 2 \land \check{s} > 2\). Dokážeme, že potom \(L \neq P\) okrem prípadu, kedy \(k = m = \check{s} = 3\). Označme \(M :=\footnote{Ak náhodou tento operátor nepoznáte, ide o operátor, ktorý si matematika požičala od svojej dcéry, informatiky. Znamená asi toľko, že symbol na strane pri dvojbodke \textit{je definovaný ako} výraz na druhej strane operátora. Teda v našom prípade značí $M$ je definovavé ako $\text{max}\{k,\, m,\, \check{s} \}$. Ak by vás zaujímal rozdiel medzi $:=$ a $=$, môžete sa o tom čo-to dočítať na \href{https://math.stackexchange.com/questions/25214/what-does-mean}{tejto stránke}.} \text{max}\{k,\, m,\, \check{s} \}\). Potom \(L \geq 3 \cdot 3 \cdot M = 9M\) a súčasne \(P \leq 3(M + M + M) = 9M\). Rovnosť v oboch prípadoch nastáva jedine ak \(a = b = c = 3\). Preto nesmie platiť, že \(k > 2 \land m > 2 \land \check{s} > 2\), okrem prípadu kedy \(k = m = \check{s} = 3\).
Nech BÚNV \(k \leq m \leq \check{s}\). Z predošlého zistenia dostávame, že \(k = 1 \lor k = 2\). Rozoberme teraz oba prípady.
\(k = 1\). Analogickým spôsobom vieme dokázať, že nesmie naraz platiť \(m > 6 \land \check{s} > 6\). Preto \(m \leq 6\). Rozoberme teraz všetky možnosti.
\(m = 1\). Riešením rovnice s jednou neznámou dostávame, že \(\check{s} = -3\), pričom \(-3 \notin \mathbb{Z}^+\), preto v tomto prípade nedostávame žiadne nové riešenie úlohy.
\(m = 2\). Dostávame \(\check{s} = -9\), čo opäť nebude riešením úlohy.
\(m = 3\). Riešením lineárnej rovnice dospejeme k nepravdivému výroku \(0 = 12\), čo opäť zrejme nebude riešením úlohy.
\(m = 4\). Dostávame druhé pseudoriešenie úlohy \(k = 1\), \(m = 4\), \(\check{s} = 15\).
\(m = 5\). Dostávame tretie pseudoriešenie úlohy \(k = 1\), \(m = 5\), \(\check{s} = 9\).
\(m = 6\). Dostávame štvrté pseudoriešenie úlohy \(k = 1\), \(m = 6\), \(\check{s} = 7\).
\(k = 2\). Analogickým spôsobom ako na začiatku riešenia vieme dokázať, že nesmie naraz platiť \(m > 3 \land \check{s} > 3\). Preto \(2 \leq m \leq 3\). Rozoberme teraz všetky možnosti.
\(m = 2\). Dostávame piate pseudoriešenie úlohy \(k = 2\), \(m = 2\), \(\check{s} = 12\).
\(m = 3\). Dostávame šieste pseudoriešenie úlohy \(k = 2\), \(m = 3\), \(\check{s} = 5\).
Riešením úlohy sú potom všetky možné rôzne permutácie hodnôt postupne z každého pseudoriešenia úlohy. Presnejšie, nech \(P_1 = \{(3,3,3)\}\), \(P_2 = \{ (1,\, 4,\, 15),\, (1,\, 15,\, 4),\, (4,\, 1,\, 15),\, (4,\, 15,\, 1),\, (15,\, 1,\, 4),\, (15,\, 4,\, 1)\}\), \(P_3 = \{(1,\, 5,\, 9),\, (1,\, 9,\, 5),\, (5,\, 1,\, 9),\, (5,\, 9,\, 1),\, (9,\, 1,\, 5),\, (9,\, 5,\, 1)\}\), \(P_4 = \{ (1,\, 6,\, 7),\, (1,\, 7,\, 6),\, (6,\, 1,\, 7),\, (6,\, 7,\, 1),\, (7,\, 1,\, 6),\, (7,\, 6,\, 1) \}\), \(P_5 = \{ (2,\, 2,\, 12),\, (2,\, 12,\, 2),\, (12,\, 2,\, 2) \}\), \(P_6 = \{ (2,\, 3,\, 5),\, (2,\, 5,\, 3),\, (3,\, 2,\, 5),\, (3,\, 5,\, 2),\, (5,\, 2,\, 3),\, (5,\, 3,\, 2) \}\).
Potom množinou riešení úlohy je množina \(A = P_1 \cup P_2 \cup P_3 \cup P_4 \cup P_5\).
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.