Zadanie

Maťko našiel na svojej záhradke kôpky hliny, a preto si začal myslieť, že mu tam behá krtko. Ihneď začal premeriavať svoju trojuholníkovú záhradku a zisťovať, koľko tunelov musel krtko vykopať.

Uvažujme pravouhlý trojuholník \(ABC\) s pravým uhlom pri vrchole \(C\). Vpíšme doň štvorec tak, aby jedna jeho strana ležala na prepone trojuholníka \(ABC\). Jeho vrcholy ležiace na stranách \(BC\) a \(CA\) označme postupne \(E\) a \(F\). Nech úsečka \(CE\) je dlhá \(36\ \textrm{cm}\) a úsečka \(CF\) je dlhá \(48\ \textrm{cm}\). Vypočítajte dĺžku strany \(AB\).

Teritereza.skublova@trojsten.sk

Na obrázku môžeme vidieť situáciu zo zadania – pravouhlý trojuholník a v ňom vpísaný štvorec s jednou stranou ležiacou na prepone \(AB\).

image

Ako prvé si môžeme všimnúť rovnobežnosť úsečiek \(AB\) a \(FE\), ktorá vyplýva z rovnobežnosti protiľahlých strán v štvorci. Táto rovnobežnosť je veľmi podstatná, lebo obsahuje kľúč k riešeniu našej úlohy. Hovorí nám totiž o podobnosti dvoch trojuholníkov – podobnosti trojuholníka \(ABC\) s trojuholníkom \(FEC\). Tieto dva trojuholníky sú podobné kvôli zhodnosti zodpovedajúcich si uhlov. Uhol \(ACB\) (\(FCE\)) majú spoločný. Uhol \(CFE\) v trojuholníku \(FEC\) má zhodnú veľkosť ako uhol \(CAB\) v trojuholníku \(ABC\), lebo ich ramená \(FC\) a \(AC\) ležia na jednej priamke a ich ramená \(FE\) a \(AB\) sú rovnobežné, a preto tieto dva uhly sú súhlasné a majú rovnakú veľkosť. Podobnú úvahu vieme spraviť aj pre dvojicu uhlov \(CEF\) a \(CBA\). Ich ramená \(EC\) a \(BC\) ležia na jednej priamke a ich ramená \(EF\) a \(BA\) sú rovnobežné, takže sa opäť jedná o súhlasné uhly, vďaka čomu uhly \(CEF\) a \(CBA\) majú zhodnú veľkosť. Dostávame tak zhodnosť v troch zodpovedajúcich si dvojiciach uhlov, a teda tieto dva trojuholníky sú podobné 1.

Vieme teda, že trojuholníky \(ABC\) a \(FEC\) sú podobné. To nám dáva nástroj na výpočet dĺžky prepony \(AB\). Kvôli podobnosti trojuholníkov sú totiž pomery medzi dĺžkami zodpovedajúcich si strán rovnako veľké. Takže nám stačí zistiť dĺžku strany \(FE\) v trojuholníku \(FEC\) a dĺžky výšok v obidvoch trojuholníkoch.

Trojuholník \(FEC\) je pravouhlý, a preto vieme využiť Pytagorovu vetu na výpočet dĺžky jeho prepony \(FE\). \[\begin{aligned} |FE|^2&=|CF|^2+|CE|^2\text,\\ &=48^2+36^2\text,\\ &=12^2\cdot(4^2+3^2)\text,\\ &=12^2\cdot5^2\text,\\ |FE|&=60\text.\end{aligned}\]

Obsah pravouhlých trojuholníkov vieme vypočítať viacerými spôsobmi. Keď takto vypočítame obsah dvomi spôsobmi, tak musíme dostať rovnaký výsledok. Preto \[\begin{aligned} \frac{|FE|\cdot x}{2}&=\frac{|CF|\cdot|CE|}{2}\text,\\ x&=\frac{|CF|\cdot|CE|}{|FE|}\text,\\ x&=\frac{48\cdot36}{60}\text,\\ x&=\frac{144}{5}\text.\end{aligned}\]

Teraz vieme dopočítať aj výšku v trojuholníku \(ABC\), ktorá je zjavne o \(60\) dlhšia ako výška v trojuholníku \(FEC\), lebo \(|PR|\) je rovnaká ako dĺžka strany vpísaného štvorca, čo je \(|FE|\). Tým pádom už vieme určiť dĺžku prepony \(AB\). \[\begin{aligned} \frac{|AB|}{|FE|}&=\frac{|CR|}{|CP|}\text,\\ |AB|&=\frac{|CR|\cdot|FE|}{|CP|}\text,\\ |AB|&=\frac{(\frac{144}{5}+60)\cdot60}{\frac{144}{5}}\text,\\ |AB|&=185\text.\end{aligned}\]


  1. Úplne by stačila len zhodnosť v dvoch dvojiciach zodpovedajúcich si uhlov, aby boli dané dva trojuholníky podobné, keďže tretí uhol v trojuholníku je jasne určený z veľkostí zvyšných dvoch uhlov. Avšak pre precvičenie si hľadania súhlasných uhlov, ktoré majú zhodnú veľkosť, sme uviedli aj zhodnosť medzi treťou dvojicou zodpovedajúcich si uhlov.↩︎

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.