Zadanie

V jednej kôpke hliny našiel Maťko starý roztrhnutý kus papiera, na ktorom bola napísaná sústava rovníc. Maťko ju rýchlo išiel ukázať svojim kamarátom, ale tí mu tvrdili, že určite nemá žiadne riešenie.

Ukážte, že Maťkovi len tlačia kaleráby do hlavy a nájdite všetky dvojice reálnych čísel \(x,y,\) ktoré zároveň spĺňajú \[\begin{aligned} 4y^2-x^2&=2y+x,\\ x^2-2xy+2y-x&=0.\end{aligned}\]

 David[email protected] Baška[email protected]

K tejto úlohe ponúkame 2 vzorové riešenia. Začnime prvým z nich:

Keď Máme Sústavu zo zadania, tak si môžeme všimnúť možnosť úpravy prvej rovnice do nasledujúcej podoby: \[4y^2-x^2=(2y-x)\cdot (2y+x)=2y+x.\] Všimnime si, že obe strany možno vydeliť výrazom \(2y+x\). Avšak najprv treba ošetriť situáciu, kedy \(2y+x=0\), keďže nulou deliť nemožno. Za tohto predpokladu bude zároveň prvá rovnica určite splnená, pretože obe strany budú nulové. Danú situáciu možno prepísať do tvaru \(x=-2y\) a dosadiť do druhej rovnice: \[\begin{aligned} x^2-2xy+2y-x&=(-2y)^2-2y \cdot (-2y)+2y-(-2y)= \\ &=4y^2+4y^2+2y+2y=8y^2+4y=4y \cdot (2y+1)=0.\end{aligned}\] Z tejto rovnice vidno, že vyhovujúce hodnoty \(y\) sú \(-\frac{1}{2}\) a \(0\). Ak \(y=-\frac{1}{2}\), tak potom \(x=1\). Ak \(y=0\), tak \(x=0\). Teraz, keď sme ošetrili delenie \(0\), tak môžeme rovnicu \((2y-x)\cdot (2y+x)=2y+x\) vydeliť výrazom \(2y+x\) a dostaneme \(2y-x=1\), z čoho po úprave dostaneme \(x=2y-1\) a môžeme opätovne dosadiť do druhej rovnice: \[\begin{aligned} x^2-2xy+2y-x&=(2y-1)^2-2y \cdot (2y-1)+2y-(2y-1)= \\ &=4y^2-4y+1-4y^2+2y+2y-2y+1=-2y+2=2 \cdot (1-y)=0.\end{aligned}\] Odtiaľto vidno, že \(y=1\), a teda \(x=1\). Keďže sme robili len ekvivalentné úpravy, tak skúška správnosti nie je potrebná, a teda sme ukázali, že Maťkovi skutočne len kamaráti tlačia kaleráby do hlavy a našli sme všetky \(3\) riešenia sústavy vyššie.

2. riešenie

Keď Máme Sústavu zo zadania, tak si môžeme všimnúť možnosť úpravy druhej rovnice do nasledujúcej podoby: \[2y-x=2xy-x^2=x \cdot (2y-x).\]

Všimnime si, že obe strany možno vydeliť výrazom \(2y-x\).1 Avšak najprv treba ošetriť situáciu, kedy \(2y-x=0\), keďže nulou deliť nemožno. Danú situáciu možno prepísať do tvaru \(x=2y\) a dosadiť do prvej rovnice: \[4y^2-(2y)^2=4y^2-4y^2=0=2y+2y=4y.\] Z tejto rovnice vidno, že vyhovuje \(y=0\). Ak \(y=0\), tak potom \(x=0\). Teraz, keď sme ošetrili delenie \(0\), tak môžeme rovnicu \(2y-x=x \cdot (2y-x)\) vydeliť výrazom \(2y-x\) a dostaneme \(x=1\) a môžeme opätovne dosadiť do prvej rovnice: \[\begin{aligned} 4y^2-1&=2y+1,\\ 4y^2-2y-2&=0,\\ 2y^2-y-1&=0,\\ 2\cdot\left(y+\frac{1}{2}\right)\cdot(y-1)&=0.\end{aligned}\] Odtiaľto vidno, že \(y=1\) alebo \(y=-\frac{1}{2}\). Keďže sme robili len ekvivalentné úpravy, tak skúška správnosti nie je potrebná, a teda sme ukázali, že Maťkovi skutočne len kamaráti tlačia kaleráby do hlavy a našli sme všetky 3 riešenia sústavy vyššie.

  1. Všimnite si, že jemne iný postup vyriešenia tejto rovnice by bol presunúť všetky členy na jednu stranu a rozložiť na súčin zátvoriek \((2y-x)(x-1)=0\), kde jedna zo zátvoriek musí byť \(0\). Ide síce o mierne inú myšlienku, ale uvidíme, že vedie k rozobratiu presne tých istých prípadov ako delenie oboch strán rovnice nenulovým výrazom. Zamyslite sa nad touto súvislosťou.↩︎

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.