3. Kôš Môjho Šťastia vzorové riešenie

Lucy[email protected] Simi[email protected]

Keď sa zamyslíme nad úlohou, po tom, čo sa vyplašíme zo slova pravdepodobnosť a množstva možností, ktoré nám prebehnú pred očami, nám isto napadne, že budeme potrebovať porovnať pravdepodobnosti pre všetky možné čísla, ktoré nám môžu padnúť na prvej loptičke. Aby sme sa neupočítali k smrti, budeme hľadať všeobecný vzorec, do ktorého len dané čísla nakoniec dosadíme.

Označme si teda číslo, ktoré nám padne na prvej loptičke \(k\). Zo zadania vieme, že všetky čísla \(k \in \{1,10\}\) padajú s rovnakou pravdepodobnosťou.

Teda pravdepodobnosť, že nám na prvej loptičke padlo \(k\) je \(\frac{1}{10}\). Potom pravdepodobnosť, že na loptičke padne číslo väčšie ako \(k\) je \(\frac{10-k}{10}\) a pravdepodobnosť, že na loptičke padlo číslo menšie alebo rovné \(k\) je \(\frac{k}{10}\). (Keďže pravdepodobnosť počítam ako počet vhodných možností deleno počet všetkých možností.)

Taktiež potrebujeme počítať s tým, že loptičky môžu byť rôzne usporiadané a nechceme eliminovať možnosti, ktoré majú iba rôzne poradie. Teda počet rôznych usporiadaní je \(9 \choose 6\), pretože mám deväť miest, na ktoré chcem umiestniť šesť loptičiek s číslom väčším ako \(k\). Na zvyšné tri miesta budú umiestnené loptičky s číslom menším alebo rovným \(k\). (Pozn.: \({9 \choose 6} = {9 \choose 3}\)).

Tieto pravdepodobnosti sú nezávislé, a teda ich môžem násobiť. Čiže pravdepodobnosť, že prvé číslo je \(k\) a dostanem šesť čísel väčších ako \(k\), a tri čísla menšie alebo rovné \(k\), je \[\frac{1}{10} \cdot {9 \choose 6} \cdot \left(\frac{10-k}{10}\right)^6 \cdot \left(\frac{k}{10}\right)^3\]

Keďže \(k\) môže mať desať rôznych hodnôt, asi najjednoduchší spôsob, ako zistiť, ktorá z nich má najväčšiu pravdepodobnosť, je vypočítať každú zvlášť. S použitím tohto vzorca teda zistíme, že najväčšiu pravdepodobnosť má hodnota \(k=3\), a to približne \(0,0267\). ¹