6. Kubko, Maťko na Salaši vzorové riešenie

Tomáš S.[email protected] Lucka[email protected]

Pri riešení úloh takéhoto typu nám môže pomôcť pozrieť sa na zvyšky po delení nejakým číslom. V rovnici sa nám vyskytuje tretia mocnina, pozrime sa teda, aké zvyšky môže dávať \(c^3\) po delení \(7\)¹: \[\begin{aligned} 0^3\equiv 0 \pmod 7,\\ 1^3\equiv 2^3\equiv 4^3\equiv 1 \pmod 7,\\ 3^3\equiv 5^3\equiv 6^3 \equiv 6 \pmod 7.\end{aligned}\] Sú to teda len tri zvyšky, a to \(0,1,6\). Navyše \(2^{a!}\) môže po delení \(7\) dávať len zvyšky \(2, 4, 1\), keďže pre \(a\ge3\) platí \(3\mid a!\), a preto \[2^{a!}=\left(2^3\right)^{\frac{a!}{3}}\equiv 1 \pmod 7.\] Podobne aj \(2^{b!}\) dáva po delení \(7\) zvyšok \(2,4\) alebo \(1\). Potrebujeme teda nájsť dve (nie nutne rôzne) čísla z množiny \(\{1,2,4\}\) tak, aby ich súčet dával po delení \(7\) zvyšok z množiny \(\{0,1,6\}\). Jednoducho overíme, že to spĺňajú len dvojice \((2,4),(4,2),(4,4)\), z čoho dostaneme, že \((a,b)\) musí byť spomedzi \((1,2),(2,1),(2,2)\). Avšak \[2^{1!}+2^{2!}=2^{2!}+2^{1!}=6\] nie je tretia mocnina prirodzeného čísla, takže ostáva len prípad \(a=b=2\) a vtedy platí \[2^{2!}+2^{2!}=8=2^3,\] takže úloha má práve jedno riešenie, a tým je \(a=b=c=2\).

Iné riešenie

Ukážeme si ešte jedno riešenie, ktoré využíva inú myšlienku. BUNV² môžeme predpokladať \(a\le b\). Potom rovnicu prepíšeme do tvaru \[2^{a!}\cdot\left(1+2^{b!-a!} \right)=c^3.\]

Ak \(a<b\), tak v zátvorke je nepárne číslo a pred ňou je mocnina dvojky, takže tieto dve čísla sú nesúdeliteľné. Na to, aby bol ich súčin treťou mocninou, tak musí každé z nich byť treťou mocninou prirodzeného čísla, takže \[1+2^{b!-a!}=d^3\] pre nejaké prirodzené \(d\). Odčítaním \(1\) z oboch strán a úpravou na súčin dostaneme \[2^{b!-a!}=d^3-1=(d-1)\left(d^2+d+1\right).\] Čísla \(d\) a \(d^2\) majú rovnakú paritu, takže \(d^2+d\) je párne, ale potom \(d^2+d+1\) je nepárne číslo väčšie ako \(1\), ktoré delí mocninu dvojky, čo je spor, takže úloha nemá riešenie, v ktorom \(a<b\).

Ostáva nám už teda iba prípad \(a=b\), kedy \[2\cdot 2^{a!}=c^3,\] čiže \(2^{1+a!}\) má byť treťou mocninou, čo sa stane práve vtedy, keď \(1+a!\) je deliteľné tromi, a to je práve pre \(a=2\). Ľavá strana rovnice v zadaní má vtedy hodnotu \(8\), čo je \(2^3\), takže opäť dostaneme jediné riešenie \(a=b=c=2\).