Zadanie

Z dovolenky sa Maťko vybral za svojím kamarátom bačom Kubkom. Kubko bol veľmi šikovný – dokázal strihať ovce, podojiť ich, zahnať ich do košiara, ale s jedným problémom si Maťko ani Kubko nevedeli rady. Pomôžte im.

Nájdite všetky kladné celé čísla \(a\), \(b\), \(c\), pre ktoré platí \[2^{a!} + 2^{b!} = c^3.\]

Tomáš S.tomas.sasik@trojsten.sk Luckalucka.krajcoviechova@trojsten.sk

Pri riešení úloh takéhoto typu nám môže pomôcť pozrieť sa na zvyšky po delení nejakým číslom. V rovnici sa nám vyskytuje tretia mocnina, pozrime sa teda, aké zvyšky môže dávať \(c^3\) po delení \(7\)1: \[\begin{aligned} 0^3\equiv 0 \pmod 7,\\ 1^3\equiv 2^3\equiv 4^3\equiv 1 \pmod 7,\\ 3^3\equiv 5^3\equiv 6^3 \equiv 6 \pmod 7.\end{aligned}\] Sú to teda len tri zvyšky, a to \(0,1,6\). Navyše \(2^{a!}\) môže po delení \(7\) dávať len zvyšky \(2, 4, 1\), keďže pre \(a\ge3\) platí \(3\mid a!\), a preto \[2^{a!}=\left(2^3\right)^{\frac{a!}{3}}\equiv 1 \pmod 7.\] Podobne aj \(2^{b!}\) dáva po delení \(7\) zvyšok \(2,4\) alebo \(1\). Potrebujeme teda nájsť dve (nie nutne rôzne) čísla z množiny \(\{1,2,4\}\) tak, aby ich súčet dával po delení \(7\) zvyšok z množiny \(\{0,1,6\}\). Jednoducho overíme, že to spĺňajú len dvojice \((2,4),(4,2),(4,4)\), z čoho dostaneme, že \((a,b)\) musí byť spomedzi \((1,2),(2,1),(2,2)\). Avšak \[2^{1!}+2^{2!}=2^{2!}+2^{1!}=6\] nie je tretia mocnina prirodzeného čísla, takže ostáva len prípad \(a=b=2\) a vtedy platí \[2^{2!}+2^{2!}=8=2^3,\] takže úloha má práve jedno riešenie, a tým je \(a=b=c=2\).

Iné riešenie

Ukážeme si ešte jedno riešenie, ktoré využíva inú myšlienku. BUNV2 môžeme predpokladať \(a\le b\). Potom rovnicu prepíšeme do tvaru \[2^{a!}\cdot\left(1+2^{b!-a!} \right)=c^3.\]

Ak \(a<b\), tak v zátvorke je nepárne číslo a pred ňou je mocnina dvojky, takže tieto dve čísla sú nesúdeliteľné. Na to, aby bol ich súčin treťou mocninou, tak musí každé z nich byť treťou mocninou prirodzeného čísla, takže \[1+2^{b!-a!}=d^3\] pre nejaké prirodzené \(d\). Odčítaním \(1\) z oboch strán a úpravou na súčin dostaneme \[2^{b!-a!}=d^3-1=(d-1)\left(d^2+d+1\right).\] Čísla \(d\) a \(d^2\) majú rovnakú paritu, takže \(d^2+d\) je párne, ale potom \(d^2+d+1\) je nepárne číslo väčšie ako \(1\), ktoré delí mocninu dvojky, čo je spor, takže úloha nemá riešenie, v ktorom \(a<b\).

Ostáva nám už teda iba prípad \(a=b\), kedy \[2\cdot 2^{a!}=c^3,\] čiže \(2^{1+a!}\) má byť treťou mocninou, čo sa stane práve vtedy, keď \(1+a!\) je deliteľné tromi, a to je práve pre \(a=2\). Ľavá strana rovnice v zadaní má vtedy hodnotu \(8\), čo je \(2^3\), takže opäť dostaneme jediné riešenie \(a=b=c=2\).


  1. Číslo \(7\) môže vyzerať trochu náhodne, no vybrali sme si ho preto, lebo tretie mocniny majú pekné zvyšky po delení \(7\). Podobne sa často používa, že druhé mocniny majú pekné zvyšky po delení číslami \(3\) a \(8\), no aj iné čísla nám môžu niekedy povedať o našej úlohe niečo viac.↩︎

  2. bez ujmy na všeobecnosti↩︎

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.