Zadanie
Ako sa tak Krtko prechádzal po T2, zrazu sa pred ním zjavil portál, ktorý ho vcucol a vypľul priamo v paláci cisára Caligulu. Ten si ho zavolal, pretože stratil prehľad o preferenciách rímskeho ľudu v gladiátorských zápasoch.
Krtko zistil, že v Ríme sú dva tímy, a to Kolosálne Matické Slizniaky a Katastrofálne Mizerné Salamandry. Oproti minulému roku 3% fanúšikov Kolosálne Matických Slizniakov prešli ku Katastrofálne Mizerným Salamandrám a 5% pôvodných fanúšikov Katastrofálne Mizerných Salamandier prešlo ku Kolosálne Matickým Slizniakom. Avšak počet fanúšikov ani jedného tímu sa oproti minulému roku nezmenil. Koľko fanúšikov má ktorý tím, ak Rím má \(5\) miliónov obyvateľov?
Začnime tým, že zaznamenáme zmeny v počte fanúšikov jednotlivých tímoch do sústavy rovníc, ktorú si aj upravíme, pričom tím Kolosálnych Matických Slizniakov označíme ako \(a\), zatiaľ čo tím Katastrofálne Mizerných Salamandier ako \(b\): \[a-0,03\cdot a + 0,05 \cdot b = 0,97 \cdot a + 0,05 \cdot b = a,\] \[b-0,05\cdot b + 0,03 \cdot a = 0,95 \cdot b + 0,03 \cdot a = b.\] Prenásobením oboch rovníc \(100\) a odrátaním pravých strán od oboch rovníc dostaneme 2 identické rovnice v tvare \[-3 \cdot a + 5 \cdot b = 0.\] Táto rovnica nám v podstate hovorí o pomere, v ktorom sa fanúšikovia budú deliť. Vidno, že z tejto sústavy 2 informácie, ktoré by nám zaručili riešenie úlohy nedostaneme. Chceme teda nájsť ďalšiu rovnicu, ktorá by nám pomohla túto úlohu vyriešiť. Je ňou rovnica \(a + b = 5\ 000\ 000\), keďže fanúšikov je spolu \(5\) miliónov. V tomto momente niektoré riešenia pripustili aj, že \(a + b \leq 5\ 000\ 000\), čo je tiež pekná úvaha, ktorú tu v krátkosti rozoberieme tiež.
Ak \(a + b \leq 5\ 000\ 000\), tak podľa \(-3 \cdot a + 5 \cdot b = 0\) vieme, že \(a:b=5:3\), teda počet fanúšikov bude v tvare \(8k\), kde \(k\in \mathbb{N}:8k\leq 5\ 000\ 000\). Potom riešenie bude v tejto situácií také, že tím Kolosálnych Matických Sliziniakov má \(5k\) a tím Katastrofálne Mizerných Salamandier má \(3k\) fanúšikov, pričom \(k\in \mathbb{N}:8k\leq 5\ 000\ 000\).
Vráťme sa však späť ku situácií, ktorá sa vyskytovala výrazne častejšie a tiež je správnym riešením, teda že \(a + b = 5\ 000\ 000\). Zostáva nám v tom momente vyriešiť len sústavu rovníc \[a + b = 5\ 000\ 000,\] \[5 \cdot b = 3 \cdot a.\] Vynásobením prvej rovnice piatimi a následným dosadením za \(5 \cdot b\) z druhej rovnice dostaneme, že \(a=3\ 125\ 000\) a následným dosadením do jednej z pôvodných rovníc dostaneme, že \(b=1\ 875\ 000\). Môžeme ešte skontrolovať, či máme správne riešenie, teda \(3\ 125\ 000 - 3\ 125\ 000 \cdot 0,03 + 1\ 875\ 000 \cdot 0,05=3\ 125\ 000 - 93\ 750 +93\ 750=3\ 125\ 000\) a \(1\ 875\ 000 - 1\ 875\ 000 \cdot 0,05 + 3\ 125\ 000 \cdot 0,03=3\ 125\ 000 - 93\ 750 +93\ 750=1\ 875\ 000\).
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.