Zadanie

Keď už bol Krtko v Ríme, tak ho Caligula poprosil, aby mu rozvrhol návrh na nové kúpele.

Majme ostrouhlý trojuholník \(ABC\), v ktorom \(|AB|\neq |AC|\). Označme \(E\) pätu výšky na stranu \(AC\), \(F\) pätu výšky na stranu \(AB\) a \(H\) priesečník týchto výšok. Ďalej uvažujme os uhla \(BAC\) a jej priesečníky s priamkami \(CF\) a \(BE\) označme postupne \(M\) a \(N\). Dokážte, že trojuholník \(MNH\) je rovnoramenný.

V prvom rade sa zamyslíme, ako dokázať, že trojuholník je rovnoramenný. No buď tak, že zistíme dĺžku nejakých 2 strán a ukážeme, že sú rovnako dlhé, alebo využijeme to, že uhly pri základni takéhoto trojuholníka sú rovnaké. V tomto prípade sme nemali zadané žiadne dĺžky, skúsime sa teda pozrieť na uhly. Zo zadania hneď vieme o dvoch kľúčových uhloch – jednak uhol \(CAB\) máme osou rozdelený na dva rovnaké uhly, nazvime ich \(\alpha\). Dvak vieme o pravých uhloch pri pätách výšok. Poďme sa snažiť z týchto uhlov vyťažiť čo najviac.

Napríklad v trojuholníku \(AFM\) si vieme dorátať uhol \(FMA\) ako \(90^\circ-\alpha\). Keď sa pozrieme bližšie, zistíme, že tento uhol je vrcholovým 1 k uhlu \(NMH\), čiže aj \(|\sphericalangle NMH|\) je \(90^\circ -\alpha\). Teraz by bolo fajn dostať tento istý uhol aj do niektorého iného rohu trojuholníka \(NMH\). Pozrieme sa na trojuholník \(ANE\) – tiež je pravouhlý a má v sebe uhol \(\alpha\), čiže rovnako môžeme dopočítať tretí uhol \(ANE\) ako \(90^\circ - \alpha\). Keďže bod \(M\) leží na úsečke \(AN\) a bod \(H\) leží na úsečke \(NE\), aj \(|\sphericalangle MNH|\) bude \(90^\circ-\alpha\). Teraz keď sa pozrieme, už máme v trojuholníku uhly \(\sphericalangle HMN\) a \(\sphericalangle MNH\) oba s veľkosťou \(90^\circ-\alpha\), čo je presne to, čo sme potrebovali. Keďže máme v trojuholníku \(MNH\) dva rovnaké uhly, musí byť rovnoramenný.

  1. Všimnite si, že to, či tieto dva uhly sú skutočne vrcholové, závisí od toho, aký obrázok si nakreslíme. Na osi uhla \(BAC\) môžu ležať body \(M\) a \(N\) v opačnom poradí, a vtedy budú uhly \(AMF\) a \(NMH\) ten istý uhol. Avšak keďže situácia je symetrická, tým sa len vymení úloha bodov \(M\) a \(N\) a \(MNH\) bude tak či tak rovnoramenný.↩

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.