7. Kôň Maľuje Svojsky vzorové riešenie

Vďaka tomu, že \(AD\) je os uhla \(BAC\) a \(EF\) je kolmica na túto os, vieme povedať, že \(|AE|=|AF|=x\). Vyplýva to tiež zo zhodností trojuholníkov \(ASE\) a \(ASF\), kde \(S\) je stred strany \(AD\). Tieto trojuholníky zdieľajú stranu \(AS\) a majú rovnaké uhly pri vrcholoch \(A\) a \(S\). Tiež si môžeme všimnúť zhodnosť trojuholníkov \(ASF\) a \(DSF\). Keďže \(S\) je stred strany, \(|AS|=|SD|\), zdieľajú stranu \(SF\) a oba majú medzi týmito stranami pravý uhol. Analogicky vieme postupovať aj pri trojuholníku \(DSE\). Vďaka týmto zhodnostiam vieme povedať, že \(|AE|=|ED|=|DF|=|AF|=x\). A tiež uhly \(|SAF|=|EAS|=|FDS|=|SDE|=\alpha\).

Ďalej si označme uhly pri vrcholoch \(B\) a \(C\) ako \(\beta\) a \(\gamma\). Z trojuholníka \(ABC\) vieme povedať, že \(2\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\). Toto môžeme využiť v trojuholníku \(ABD\), kde nám chýba doplniť uhol \(EDB\). Keďže už sa v tomto trojuholníku nachádzajú uhly \(\alpha\), \(\alpha\) a \(\beta\), do súčtu \(180^\circ\) nám chýba už iba \(\gamma\), a teda \(|EDB|=\gamma\). Analogicky vieme postupovať v trojuholníku \(ADC\) a určiť veľkosť uhla \(|CDF|=\beta\). Tieto uhly sme tiež mohli doplniť uvedomením si toho, že \(AEDF\) je kosoštvorec, a teda platí \(AE \parallel FD\) a \(AF \parallel ED\).

Môžeme si teraz všimnúť, že trojuholníky \(EBD\) a \(FDC\) sú podobné, nakoľko majú zhodné uhly. Ak si označíme pomer dĺžok strán trojuholníkov \(EBD\) a \(FDC\) ako \(k\) a dĺžku strany \(|CD|=y\), vieme si podľa toho označiť podobné strany týchto trojuholníkov nasledovne: \[\begin{align} |DB|&=k|CD|=ky, \\ |EB|&=k|FD|=kx, \\ |CF|&=\frac{|ED|}{k}=\frac{x}{k}.\end{align}\]

Porovnaním dĺžok úsečiek na obvode trojuholníka \(ABC\) dostaneme rovnosť hľadaných pomerov zo zadania: \[\begin{align} \frac{|AE|}{|EB|}&=\frac{x}{kx}=\frac{1}{k},\\ \frac{|CD|}{|BD|}&=\frac{y}{ky}=\frac{1}{k},\\ \frac{|CF|}{|AF|}&=\frac{x/k}{x}=\frac{1}{k}.\end{align}\]