2. Kráľovská Majstrovská Skúška vzorové riešenie

Keďže máme trojuholník, ktorý je pravouhlý, tak pre dĺžky jeho strán bude platiť Pytagorova veta, a tak dostaneme \[\begin{align} a^2+b^2 &=(b+1)^2, \\ a^2+b^2 &=b^2+2b+1,\\ a^2 &=2b+1.\end{align}\] Keďže \(2b\) je určite párne číslo a k nemu pripočítavame nepárnu jednotku, tak dostaneme nejaké nepárne číslo. Tým pádom je \(a^2\) nepárne, a teda aj \(a\) bude nepárne (pretože ak by bolo párne, tak by bolo v tvare \(2k\), čo po umocnení dáva \(4k^2\), čo nie je nepárne číslo). Vráťme sa ale k pôvodnej Pytagorovej vete a za \(a\) dosaďme \(2k-1, k\in \mathbb{N}\) (lebo už vieme, že \(a\) je nepárne): \[\begin{align} (2k-1)^2+b^2 &=(b+1)^2, \\ 4k^2-4k+1+b^2 &=b^2+2b+1,\\ 4k^2-4k &=2b, \\ 2 \cdot (k^2-k)=2k^2-2k &=b.\end{align}\] No a v tomto momente vidíme, že \(b\) musí byť skutočne párne.