4. Krtkov Majestátny Šmar vzorové riešenie

Krtko hádže pávovi chlieb, až kým sa naň páv nechytí. Môžeme preto predpokladať, že existuje šmar, na ktorý sa páv chytí. O všetkých predchádzajúcich šmaroch vieme potom povedať, že na tie sa páv nechytil, lebo by Krtko prestal hádzať už skôr a nezáleží nám na tom, aké boli tieto šmary, lebo nám nijak neovplyvnia ten nasledujúci. Zaujímať nás bude teda až posledný šmar, v ktorom Krtko páva chytí. Vieme, že Krtko páva chytil buď majestátnym alebo malomocným šmarom. Celková pravdepodobnosť chytenia páva majestátnym šmarom je \(\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{20}\). Celková pravdepodobnosť, že Krtko páva chytí malomocným šmarom, je \(\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{10} = \frac{2}{25}\).

Tieto dve udalosti sú disjunktné (určite nastala iba jedna z nich) a nás zaujíma, aká je pravdepodobnosť, že sa stala jedna konkrétna z nich. Môžeme teda použiť známy vzťah pre výpočet pravdepodobnosti, pričom v čitateli bude pravdepodobnosť tej udalosti, ktorá nás zaujíma a v menovateli bude súčet pravdepodobností všetkých udalostí, ktoré v tomto ťahu mohli nastať. Označme \(P_M\) pravdepodobnosť, že Krtko v poslednom šmare páva chytil majestátnym šmarom a \(P_m\) pravdepodobnosť, že ho chytil malomocným šmarom. Potom dostávame, že hľadaná pravdepodobnosť je \[\begin{align} \frac{P_M}{P_M + P_m}=\frac{\frac{3}{20}}{\frac{3}{20} + \frac{2}{25}} = \frac{15}{23}. \end{align}\]