7. Kúzelník Merlin Soptí vzorové riešenie

Pozrime sa najskôr na paritu. V prvej rovnici sú všetky členy okrem \(3z^2\) párne, takže aby táto rovnica platila, musí byť párne aj \(3z^2\), a teda aj \(z\). Pravá strana druhej rovnice potom bude nepárna, a preto \(13x\), a teda aj \(x\), musí byť nepárne.

Mohli by sme skúmať aj deliteľnosť ďalšími číslami, no výhodnejšie môže byť pokúsiť sa ohraničiť hodnoty, ktoré môžu premenné nadobúdať. V prvej rovnici vieme s využitím \(y^2,z^2>0\) ohraničiť pravú stranu dvomi spôsobmi \[\begin{align} 2x^2&=4y^2+3z^2+2>2y^2,\\ 2x^2&=4y^2+3z^2+2>2z^2.\end{align}\] Keďže \(x,y,z\) sú kladné, tak z toho vyplýva \(x>y\) a \(x>z\). Tieto ohraničenia môžeme využiť v druhej rovnici: \[4y+3z+29=13x=6x+4x+3x>6x+4y+3z.\] Odčítaním \(4y+3z\) od oboch strán dostaneme \[6x<29,\] čiže \(x<\frac{29}6<5\). Zároveň \(x>y\ge1\). Vieme teda, že \(1<x<5\) a zároveň \(x\) je nepárne, a tak \(x\) môže byť len \(3\). Nakoľko \(z\) je párne a \(z<x\), jediná možnosť pre \(z\) je \(z=2\). Potom z druhej rovnice v zadaní dostaneme \(y=1\). Sústava rovníc zo zadania tak má nanajvýš jedno riešenie a zostáva nám už len overiť, že \((x,y,z)=(3,1,2)\) naozaj vyhovuje. To overíme jednoducho dosadením do oboch rovníc – v prvej nám vyjdú obe strany rovné \(18\) a v druhej \(39\), čiže obe rovnice platia. Jediným riešením sústavy rovníc zo zadania tak je \((x,y,z)=(3,1,2)\).