Zadanie
Kým sa deti v pokoji hrajú, Krtko má čas a započúva sa do porady Márie Terézie. S jej poradcami sa snaží vyriešiť, koľko vody budú potrebovať na závlahu severného (\(s\)), južného (\(j\)), východného (\(v\)) a západného (\(z\)) kráľovského trávnika. Krtko zaujatý týmto problémom vytiahne zápisník a začína riešiť daný problém.
Vyriešte sústavu rovníc pre reálne čísla \(s\), \(j\), \(v\), \(z\): \[\begin{align} 2j + 4sj^3 + 2sjv^2 + 2sjz^2 &= 0,\\ 2v + 4sv^3 + 2sj^2v + 2svz^2 &= 0,\\ 2z + 4sz^3 + 2sj^2z + 2sv^2z &= 0,\\ j^4 + v^4 + z^4 + j^2v^2 + j^2z^2 + v^2z^2 - 1 &= 0.\end{align}\]
Ľavú stranu prvej rovnice sústavy vieme upraviť ako \[2j+4sj^3+2sjv^2+2sjz^2=2(j+2sj^3+sjv^2+sjz^2)=2j(1+s(2j^2+v^2+z^2)).\] Podobne vieme upraviť aj druhú a tretiu rovnicu. Teraz sa pozrime na ľavú stranu tej štvrtej: \[j^4+v^4+z^4+j^2v^2+j^2z^2+v^2z^2-1=\frac12((j^2+v^2)^2+(v^2+z^2)^2+(z^2+j^2)^2)-1.\] Vďaka tomu vieme poslednú rovnicu prepísať na \[\tag{1} (j^2+v^2)^2+(v^2+z^2)^2+(z^2+j^2)^2 = 2.\] Zaveďme substitúciu \(A=j^2+v^2\), \(B=v^2+z^2\), \(C=z^2+j^2\). Zjavne \(A,B,C\geq0\). Potom sa sústava upraví na \[\begin{align} j(1+s(A+C))&=0,\tag{2}\\ v(1+s(B+A))&=0,\tag{3}\\ z(1+s(C+B))&=0,\tag{4}\\ A^2+B^2+C^2&=2.\nonumber\end{align}\]
Prvé tri rovnice sú v súčinovom tvare. Pozrime sa teda na prípady podľa toho, ktoré z neznámych \(j,v,z\) sú rovné nule. Zjavne je však aspoň jedna neznáma nenulová – inak by sme z (1) dostali \(0=2\), čo je spor.
Jedna z neznámych \(j,v,z\) je nulová
Keďže sústava je cyklická, nech BUNV \(j=0\), čiže \(v, z\neq0\). Rovnica (2) vtedy platí. Pre splnenie zvyšných dvoch z nenulovosti \(v, z\) musí súčasne platiť \[\begin{align} 0&=1+s(2v^2+j^2+z^2)=1+s(2v^2+z^2),\\ 0&=1+s(2z^2+j^2+v^2)=1+s(2z^2+v^2).\end{align}\] Zjavne \(s\neq0\). Preto porovnaním pravých strán dostávame \(2v^2+z^2 = 2z^2+v^2 \iff z^2 = v^2 \iff|z|=|v|\). Toto použijeme v (1), čím dostaneme \[6v^4 = 2 \iff v= \pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}.\] Štvorice \((s,\ j,\ v,\ z)\) v tejto vetve spĺňajúce podmienky sú teda \(\left(-\frac1{\sqrt3},0,\pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}},\pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}\right),\ \left(-\frac1{\sqrt3},0,\pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}},\mp \sqrt[4]{\frac{1}{3}}\right)\) a všetky ich cyklické obmeny vzhľadom na neznáme \(j,\ v,\ z\).
Dve z neznámych \(j,v,z\) sú nulové
Teraz vďaka cyklickosti môžeme BUNV predpokladať, že \(z\neq0\), a teda \(j=v=0\). Najskôr z rovnice (1) zistíme, že \(z^4 = 1 \iff z = \pm 1\). Potom vďaka (4) musí byť \(s = -\frac{1}{2}\). Riešením sú teda aj štvorice \(\left(-\frac12,0,0,\pm1\right)\) a všetky ich cyklické obmeny vzhľadom na neznáme \(j,\ v,\ z\).
Všetky neznáme \(j,v,z\) sú nenulové
Potom kvôli (2), (3), (4) musí platiť \[1+s(A+C)=1+s(B+A)=1+s(C+B)=0.\] Zjavne \(s\neq0\), preto z toho ale zase vyplýva, že \(A+C = B+A = C+B\). Porovnaním (odčítaním) dvojíc týchto výrazov máme \(A=B=C\) (mimochodom, vtedy \(s=\frac{-1}{2A}\)). Ostáva nám previesť tento vzťah do premenných \(j,v,z\). To už je ale ľahké, lebo \(A=B\iff j^2 = z^2\) a \(B=C\iff v^2 = j^2\). Inak povedané, \(v,z = \pm j\). To spolu s (1) dáva \(12j^4=2 \iff j,v,z\in\left\{\pm \sqrt[4]{\frac{1}{6}}\right\},\ s=\frac{-\sqrt{6}}{4}\).
Tak sme teda našli všetky prípustné štvorice \(s,j,v,z\).
Poznámka
Ako sme dokázali náhodou rozložiť výraz zo štvrtej rovnice zadania? Možno poznáte, že \(a^2+b^2=R^2\) je vzťah, ktorý spĺňajú práve body na kružnici s polomerom \(R\) a stredom v počiatku roviny. Podobne \(a^2+b^2+c^2=R^2\) spĺňa práve povrch gule (sféra) v priestore, a keby naše \(a=j^2, b=v^2, c=z^2\), tak \(j^4 + v^4 + z^4\) by bolo niečo ako guľa v súradniciach \(a,b,c\). A tie zvyšné členy, ktoré nám zatiaľ akoby vadia, získame tak, že ich nejak vhodne namiešame z \(a,b,c\), teda („skúsme“) \(A=a+b\) atď. Niežeby to bola kuchárka, ale je fajn sa na (hlavne kvadratické) výrazy občas pozrieť aj takto.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.