2. Kúpim Matematické Sústredenie $\left(\kappa \le 2\right)$ vzorové riešenie

Našou úlohou je dokázať rovnosť. Preto budeme postupovať tak, že sa pokúsime prepísať ľavú stranu rovnosti tak, aby sme sa dostali ku tvaru pravej. Naľavo máme výraz \[a+b+c-\left\lfloor a+b \right\rfloor-\left\lfloor a+b+c-\left\lfloor a+b \right\rfloor\right\rfloor.\] Ako už bolo vysvetlené v zadaní, dolná celá časť čísla \(x\) je najväčšie celé číslo neprevyšujúce \(x\). Platí teda \[\left\lfloor x \right\rfloor\leq x< \left\lfloor x\right\rfloor +1.\] Pozrime sa bližšie na výraz \(\left\lfloor x+k \right\rfloor\), kde \(k\) je celé číslo. Keďže dolná celá časť celého čísla sa rovná hodnote čísla samotného, môžeme výraz prepísať nasledovne \[\left\lfloor x +k \right\rfloor=\left\lfloor x \right\rfloor +k.\tag{1}\] Každá hodnota dolnej celej časti je celé číslo, teda aj \(\left\lfloor a+b \right\rfloor\in\mathbb{Z}\). Na základe rovnosti \((1)\) môžeme upraviť náš výraz nasledovne \[a+b+c-\left\lfloor a+b \right\rfloor-\left\lfloor a+b+c-\left\lfloor a+b \right\rfloor\right\rfloor=a+b+c-\left\lfloor a+b \right\rfloor-(\left\lfloor a+b+c\right\rfloor-\left\lfloor a+b \right\rfloor),\] a tak dostávame tvar \[a+b+c-\left\lfloor a+b \right\rfloor-\left\lfloor a+b+c\right\rfloor+\left\lfloor a+b \right\rfloor=a+b+c-\left\lfloor a+b+c\right\rfloor.\] Pričítaním nuly hodnotu výrazu nezmeníme, preto keď ku danému výrazu pripočítame \(0=\left\lfloor b+c \right\rfloor-\left\lfloor b+c \right\rfloor\), dostaneme ekvivalentný výraz tvaru \[a+b+c+\left\lfloor b+c \right\rfloor-\left\lfloor b+c \right\rfloor-\left\lfloor a+b+c\right\rfloor,\] ktorý vďaka rovnosti \((1)\) môžeme prepísať ako \[a+b+c-\left\lfloor b+c \right\rfloor-\left\lfloor a+b+c-\left\lfloor b+c \right\rfloor\right\rfloor.\] To je však pravá strana rovnosti zo zadania. Keďže všetky úpravy boli ekvivalentné a matematicky korektné, výraz na ľavej strane rovnosti je totožný s tým napravo.