Zadanie
David má veľmi špecifické požiadavky na svoju sprchu. Veľmi mu záleží na životnom prostredí, ale aj na osobnom komforte, a teda požaduje od sprchy prietok \(\SI{28}{\litre\per\minute}\) a teplotu \(\SI{29.5}{\celsius}\). Na svojom výlete do Blagoevgradu narazil na problém. Po tom, čo s ostatnými Slovákmi prišli na internát, kde boli ubytovaní, všimli si, že sprcha mala len kohútiky s teplou vodou o teplote \(\SI{38}{\celsius}\) a studenou o teplote \(\SI{10}{\celsius}\). David zároveň vypozoroval, že otočením studeného kohútika o \(\ang{10}\) zvýši prietok o \(\SI{0.5}{\litre\per\minute}\) a otočením teplého o \(\ang{15}\) o \(\SI{1}{\litre\per\minute}\). Takisto si všimol, že zvýšenie prietoku je priamo úmerné otočeniu kohútika. Ako má David otočiť dané kohútiky, aby dosiahol požadované parametre?
Poznámka. Môžete predpokladať, že výsledná teplota vody bude váženým priemerom pôvodných teplôt.
Na začiatok si označme relevantné údaje ich skrátenými názvami:
| výsledný prietok sprchy: \(Q^\star = 28\ \si{\litre\per\minute}\) | prietok teplej vody: \(Q_t\) | prietok studenej vody: \(Q_s\) |
| výsledná teplota sprchy: \(t^\star = 29,5\ \si{\celsius}\) | teplota teplej vody: \(t_t = 38\ \si{\celsius}\) | teplota studenej vody: \(t_s = 10\ \si{\celsius}\) |
Pre prehľadnosť vo vzorovom riešení nebudeme uvádzať jednotky. Vieme určite povedať, že súčet prietokov \(Q_t\) a \(Q_s\) budú určite dávať celkový prietok \(Q^\star\), teda že \[Q_t+Q_s=Q^\star=28.\] Zároveň \(t^\star\) vieme spočítať ako vážený aritmetický priemer nasledujúcim spôsobom: \[29,5=t^\star=\frac{Q_t \cdot t_t+Q_s\cdot t_s}{Q_t+Q_s}=\frac{Q_t \cdot t_t+Q_s\cdot t_s}{Q^\star}=\frac{Q_t \cdot 38+Q_s\cdot 10}{28}.\] Všimnime si, že sme tak dostali sústavu rovníc o 2 neznámych. Poďme ju teda vyriešiť. \[Q_t+Q_s=Q^\star=28 \Leftrightarrow Q_s=28-Q_t.\] Takto získané vyjadrenie jednej z premenných môžeme dosadiť do druhej rovnice. Dostaneme tak, že \[29,5=\frac{Q_t \cdot 38+\left(28-Q_t\right)\cdot 10}{28}=\frac{38\cdot Q_t + 280-10\cdot Q_t}{28}=\frac{28\cdot Q_t + 280}{28}= Q_t + 10\] Potom \(Q_t=29,5-10=19,5\ \si{\litre\per\minute}\), a teda \(Q_s=28-Q_t=28-19,5=8,5\ \si{\litre\per\minute}\). Všimnime si, že otočenie studeného kohútika o \(10^\circ\) mení prietok len o \(0,5\ \si{\litre\per\minute}\), teda otočenie o \(20^\circ\) bude meniť prietok už o celý liter za minútu. Keďže už poznáme prietok teplého a aj studeného kohútika, tak za použitia údajov o rotácii vieme vypočítať, o koľko stupňov má David otočiť kohútikmi.
Otočenie kohútika s teplou vodou: \(15\cdot Q_t=15\cdot(19,5:1) = \mathbf{292,5^\circ}\).
Otočenie kohútika so studenou vodou: \(20\cdot Q_s=20\cdot(8,5:1) = \mathbf{170^\circ}\).
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.