Zadanie
Ako si tak Slováci prichádzajú na Blaordskú univerzitu, začujú za sebou dajaké pazvuky. V strachu sa obzerajú okolo seba, či na nich náhodou nevyskočí agresívna mačka, no jediné zviera navôkol je plyšová vydra. Usalašili sa tu totiž starí známi Izraelčania, ktorí si ako prípravu pred súťažou prechádzajú nasledovnú úlohu.
Nech pre každé prirodzené číslo \(n\) je \(a_n\) prirodzené číslo najbližšie k \(\sqrt{n}\) (ak je takých viac, vezmeme vždy to najmenšie; ak je \(\sqrt{n}\) prirodzené, tak \(a_n = \sqrt{n}\)). Dokážte, že pre každé prirodzené číslo \(n\) platí \[a_1+a_2+\dots+a_{n^2+n}=2\cdot\left(1^2+2^2+\dots+n^2\right).\]
Žiadanú rovnosť dokážeme indukciou. Najprv ju overíme pre \(n\) rovné 1 , potom ukážeme, že z platnosti tvrdenia pre \(n-1\) vyplýva platnosť pre \(n\).
V prvom prípade naozaj \[\begin{align} a_1+a_{1^2+1}&\stackrel{?}{=}2\cdot1^2,\\ 1+1&=2.\end{align}\]
Pre indukčný krok predpokladajme, že \[a_1+a_2+\dots+a_{n^2-n}=2\cdot(1^2+2^2+\dots+(n-1)^2).\] Totiž, \((n-1)^2+n-1=n^2-2n+n-1=n^2-n\). Potom chceme, aby platila rovnosť zo zadania – stačí nám teda dokázať, že
\[a_{n^2-n+1}+\dots+a_{n^2+n}=2\cdot n^2.\]
Žiadanú rovnosť potom dostaneme ako súčet posledných dvoch (chceme, aby prírastok súčtu naľavo bol rovný prírastku súčtu napravo). Najnovšia ľavá strana má všetky členy rovné \(n\). Môžeme si totiž spočítať, že \((n-1/2)^2=n^2-n+1/4\), čo znamená, že pre všetky \(k\) väčšie než \(n^2-n+1/4\) platí \(a_k\geq n\). Obdobne \((n+1/2)^2=n^2+n+1/4\) a odtiaľ \(a_k\leq n\), akonáhle \(k<n^2+n+1/4\). Indexy na ľavej strane našej rovnosti sú skutočne všetky medzi týmito hranicami (pretože \(n^2-n+1/4<n^2-n+1<n^2+n<n^2+n+1/4\)) . Je ich tam \((n^2+n)-(n^2-n+1)+1=2n\), čo určuje , že ich súčet je \(2n\cdot n=2n^2\). Indukčný krok a celý dôkaz sú dokončené.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.