Zadanie
Vedúci KMSka sa vydali na výlet do čarokrásnych lesov. Vopred sa však nedohodli na trase, a tak skupinka viac či menej nahnevaných vedúcich začala stúpať do príliš strmého kopca. Nadmorská výška bola síce príliš vysoká, no KMS vedúci si aj za takýchto okolností na nej všimli niečo zaujímavé.
Koľko existuje rôznych štvorciferných čísel, ktorých prvé dvojčíslie je zároveň aj ciferným súčtom?
Najskôr si uvedomme, že prvé dvojčíslie štvorciferného čísla, môže byť ľubovoľné číslo od \(10\) do \(99\). Ciferný súčet štvorciferného čísla však môže byť najviac \(9+9+9+9=36\), takže aj prvé dvojčíslie môže byť najviac \(36\). Preto prvá cifra môže byť najviac \(3\). Z toho však dostávame, že ciferný súčet môže byť najviac \(3+9+9+9=30\). Súčet \(30\) sa však dá dosiahnuť jediným spôsobom ako \(3+9+9+9\), kedy prvé dvojčíslie nie je \(30\), ale \(39\). Takže najväčší možný ciferný súčet, ktorý môže spĺňať podmienky zadania, je \(29\). Čiže prvá cifra môže byť najviac \(2\). Teda máme len dve možnosti na prvú cifru – \(1\) alebo \(2\).
Ďalej využijeme trochu aj symbolický zápis. Označme si cifry nášho štvorciferného čísla postupne \(a,\ b,\ c,\ d\), teda zápis nášho čísla v desiatkovej sústave je \(\overline{abcd}\). Hodnotu prvého dvojčíslia vieme vyjadriť ako \(10a+b\) a ciferný súčet zas ako \(a+b+c+d\). Dáme tieto dve čísla do rovnosti \[\begin{align} 10a+b&=a+b+c+d, \nonumber \\ 9a&=c+d. \tag{1}\end{align}\]
Rozoberieme dve možnosti, keď \(a=1\) a \(a=2\). (Všimnite si, že z rovnice \((1)\) sme mohli taktiež dostať odhad \(a \leq 2\), lebo pravá strana je najviac \(9+9=18\), teda \(a \leq 18/9=2\), čím sme mohli nahradiť úvodnú úvahu.)
V prípade \(a=1\) máme \(c+d=9\). Za cifru \(c\) môžeme zvoliť ľubovoľnú hodnotu od \(0\) do \(9\) a cifru \(d\) vždy vieme jednoznačne dopočítať ako \(d=9-c\), čo nám dáva \(10\) možností. Cifry \(a,\ c,\ d\) už máme určené, ale cifra \(b\), ktorá vypadla z rovnice, môže byť stále ľubovoľná, takže pre každú z \(10\) možností máme \(10\) možností na cifru \(b\). To je spolu \(100\) možností.
Keď \(a=2\), máme \(c+d=18\). To sa dá dosiahnuť jediným spôsobom, keď obe cifry \(c,\ d\) sú maximálne, \(c=9,\ d=9\). Ostáva ľubovoľne zvoliť cifru \(b\), teda máme \(10\) možností.
Dokopy existuje \(110\) štvorciferných čísel, ktoré spĺňajú podmienky zadania.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.