Zadanie
Jedného dňa sa objavil v kráľovstve mladý kúzelník menom Matúš. Bol veľmi talentovaný a rád sa zaoberal matematikou. Keď sa dozvedel o sústave rovníc, ktorú kráľ potreboval vyriešiť, rozhodol sa, že mu pomôže. Matúš sa zamyslel a po chvíli sa mu podarilo túto sústavu vyriešiť. Keď sa kráľ dozvedel o jeho úspechu, bol veľmi potešený a odmenil ho kúzelným prstom, ktorý dokázal vyriešiť akékoľvek matematické úlohy. Matúš bol veľmi šťastný a vďačný za tento darček a vďaka nemu sa stal najmocnejším kúzelníkom v kráľovstve.
Nájdite všetky trojice reálnych čísel \((x, y, z)\), ktoré sú riešením sústavy rovníc \[\begin{align} x&=\sqrt{2y+3},\\ y&=\sqrt{2z+3},\\ z&=\sqrt{2x+3}.\end{align}\]
Ako prvé si všimnime, že každá neznáma je rovná nejakej odmocnine. To znamená, že \(x,y,z\geq0\). Najprv intuitívne vyskúšajme \(x=y=z\). Potom napríklad \(x=\sqrt{2x+3}\), po umocnení dostaneme \(x^2=2x+3\). Riešením tejto rovnice je \(x=3\) a \(x=-1\). Druhý z koreňov pre nezápornosť riešenia môžeme vylúčiť a dostaneme riešenie \((x,y,z)=(3,3,3)\), ktoré po spravení skúšky správnosti aj skutočne sedí. Teraz, keď vieme, že \(x\) môže byť 3, sa pozrime na situácie, kedy tomu tak nie je.
\(x<3\): Skúsme si nejako porovnať vzťah \(x\) a \(z\). Ak \(x<3\), tak \(2x+3<9\). Tým pádom je ale \(z=\sqrt{2x+3}<\sqrt{9}=3\). Skúsime dokázať, že \(x<z\): Na to treba, aby platilo, \(x<\sqrt{2x+3}\). Roznásobením a úpravou dostaneme \(x^2<2x+3\), teda dostaneme výraz \((x-3)(x+1)<0\). Prvá zátvorka bude vždy záporná a druhá vždy kladná, teda ich súčin bude vždy záporný, čím sme práve ukázali platnosť \(x<z\). Obdobným spôsobom (keďže už vieme, že \(z<3\)) zistíme, že \(y<3\) a \(z<\sqrt{2z+3}=y\). Z toho potom môžeme rovnakou úvahou dostať \(y<\sqrt{2y+3}=x\). Potom ale \(x<z<y<x\), čo je spor.
\(x>3\): Ak \(x>3\), tak \(2x+3>9\). Tým pádom je ale \(z=\sqrt{2x+3}>\sqrt{9}=3\). Pozrime sa teraz na výraz \((x-3)(x+1)\). Prvá zátvorka bude vždy kladná a druhá vždy kladná, teda ich súčin bude vždy kladný. Asi už začíname tušiť, že sa nám bude opakovať postup z prvého prípadu, len sa budú meniť smer nerovnosti. Skúste si teda tento postup zopakovať sami.
Tým sme došli k tomu, že \(x\) nemôže byť menšie a ani väčšie ako 3. Teda ak má táto sústava riešenie, tak musí \(x=3\). Doriešením v tomto prípade dostaneme riešenie \((x,y,z)=(3,3,3)\), skúšku správnosti pre toto riešenie sme spravili vyššie.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.