Zadanie
Žirafka Laura sa prechádzala po svojom žirafom zámku a obzerala si svoju zbierku zrkadiel. Keď si spomenula na svoju obľúbenú rozprávku o Snehulienke, tak neodolala a opýtala sa: „Zrkadielko, zrkadielko, povedz mi, kto je najkrajší na svete?“ Kupodivu jedno zo zrkadiel žirafke Laure spokojne odpovedalo: „No predsa Miško!“ To žirafku Lauru úplne vyviedlo z miery až tak, že výraz jej tváre stál za samostatnú úlohu.
Majme výraz \(n^4+k\), kde \(n,k\) sú celé kladné čísla. Dokážte, že existuje nekonečne veľa čísel \(k\) takých, že pre všetky čísla \(n\) je daný výraz zložené číslo.
Najjednoduchší spôsob, ako ukázať, že hodnota nejakého výrazu je zložené číslo, je rozložiť ho na súčin. V niektorých úlohách sa dá nájsť prvočíslo, ktoré delí všetky hodnoty výrazu, ale dá sa tušiť, že toto v našej úlohe použiť nepôjde. Je veľmi nepravdepodobné, že \(n^4+k\) (pre nejaké \(k\)) bude pre všetky \(n\) deliteľné jedným a tým istým prvočíslom.
Ak by sme mali výraz \(n^4-k\), bola by naša úloha veľmi jednoduchá, pretože by nám stačilo vziať \(k\), ktoré je druhou mocninou prirodzeného čísla, a využiť vzorec \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) (každá štvrtá mocnina je zároveň druhou mocninou).
Pokúsme sa však našu myšlienku využiť a nejako ju vylepšiť. Povedzme, že by sme náš výraz chceli dostať ako druhú mocninu nejakého výrazu tvaru \((n^2 + k_1)^2\). Toto priamočiaro aplikovať nejde, pretože namiesto \(n^4 + k_1^2\) dostaneme \(n^4 + 2k_1n^2 + k_1^2\), čo je presne o \(2k_1n^2\) viac, než by sme chceli. Nevadí, poďme to opraviť: \[n^4 + k_1^2 = (n^2 + k_1)^2 - 2k_1n^2.\]
Nezabudnite, že \(k\) si volíme, môžeme si teda dávať podmienku typu, že je to štvorec nejakého čísla \(k_1\) a podobne, len musí stále existovať nekonečne veľa \(k\), ktoré podmienky spĺňajú.
Získaný výraz nám pripomína rozdiel dvoch štvorcov. Jediné, čo na to potrebujeme, je, aby bol \(2k_1n^2\) štvorec, čo je ekvivalentné s tým, že \(2k_1\) je štvorec. Nech teda \(k_1 = 2k_2^2\), potom budeme mať \(2k_1 = 4k_2^2 = (2k_2)^2\), čo je štvorec1. Rozložením výrazu teraz dostaneme \[n^4 + k_1^2 = (n^2 + k_1)^2 - 2k_1n^2 = (n^2 + 2k_2^2)^2 - 4k_2^2n^2 = (n^2 + 2k_2^2)^2 - (2k_2n)^2 = (n^2 + 2k_2^2 - 2k_2n)(n^2 + 2k_2^2 + 2k_2n).\]
Výborne, rozklad na súčin je na svete. Ostáva overiť, že žiadna zo zátvoriek nie je \(+1\) ani \(-1\), pretože taký rozklad by nám k ničomu nepomohol. Podobne nechceme, aby niektorá zátvorka bola \(0\), pretože vtedy by celý výraz bol nulový. Druhá zátvorka je súčtom troch prirodzených čísel, takže je aspoň \(3\). Prvá zátvorka pripomína druhú mocninu rozdielu s tým, že je tam niečo navyše. Upravíme ju na \[n^2 + 2k_2^2 - 2k_2n = (n - k_2)^2 + k_2^2.\] Máme súčet druhých mocnín, ktorý je vždy nezáporný. Navyše, pre \(k_2 \geq 2\) je vždy aspoň \(4 > 1\), ako sme chceli.
Našli sme teda nekonečne veľa vhodných \(k\), ktoré sú tvaru \(k = k_1^2 = (2k_2^2)^2 = 4k_2^4\) pre prirodzené \(k_2 \geq 2\). Týchto čísel je zrejme nekonečne veľa, pretože pre rôzne \(k_2\) dostávame rôzne kladné celé čísla \(k\), čím je úloha hotová.
Mohli sme povedať, že \(k_1=a^2/2\) pre nejaké \(a\), ale chceme sa vyhnúť zlomku a následnému hľadaniu podmienok pre celočíselnosť.↩
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.