Zadanie
Keďže sa už vedúci usadili, môžu si zosumarizovať dej a rozdeliť dejové postavy. Keď si ich však rozdelili rovným dielom, zistili, že každý ich bude v jednom momente stvárňovať dve.
Nájdite všetky celé nezáporné čísla \(a, b\) také, že \(a^2=b \cdot (b+7)\).
Ukážeme si tri riešenia tejto úlohy.
Prvé riešenie
Zo zadania máme \(b\ge 0\), takže \[a^2 = b(b+7)=b^2+7b \ge b^2.\] Keďže \(a,b\) sú nezáporné, môžeme obe strany odmocniť, čím dostaneme \(a\ge b\). Zároveň \(a,b\) sú celé, takže existuje nezáporné celé číslo \(c\) také, že \(a = b+c\). Dosadením do rovnice v zadaní dostaneme \[(b+c)^2=b(b+7),\] z čoho po odčítaní \(b^2\) z oboch strán máme \[2bc+c^2=7b,\] a teda \[b(7-2c)= c^2.\] Číslo \(7-2c\) je nepárne, takže to nie je nula, a teda ním môžeme obe strany vydeliť. Dostaneme tak \[\begin{align} b = \frac{c^2}{7-2c}. \tag{1}\end{align}\] Ak \(c = 0\), tak máme \(b= 0\), a potom aj \(a=b+c=0\). Dosadením do zadania overíme, že \(a= b= 0\) je jedným riešením. Ďalej môžeme predpokladať, že \(c\) je kladné. Potom pravá strana v \((1)\) je nenulová a ľavá strana je nezáporná, takže v skutočnosti sú obe kladné. Keďže čitateľ na pravej strane je kladný, tak aj menovateľ musí byť, teda \(7-2c>0\), z čoho po ekvivalentných úpravách dostaneme \(c<\frac{7}{2}\).
Zostáva nám teda overiť len možnosti \(c\in \{ 1,2,3\}\). Pre tieto hodnoty \(c\) je pravá strana rovná postupne \(\frac{1}{5},\frac{4}{3}\) a \(9\). Keďže ľavá strana je celočíselná, aj pravá musí byť, takže \(c\) môže byť len \(3\). Vtedy \(b= 9\) a \(a=b+c=9+3=12\). Pre tieto hodnoty platí \[a^2=12^2=144=9 \cdot 16 = b(b+7),\] teda rovnica zo zadania je vtedy splnená.
Úloha tak má dve riešenia, a to \((a,b)=(0,0)\) a \((a,b)=(12,9)\).
Druhé riešenie
Pravú stranu upravíme doplením do štvorca a potom spravíme niekoľko ekvivalentných úprav: \[\begin{align} a^2=b^2+7b &= \left(b+\frac{7}{2}\right)^2-\frac{49}{4}, \nonumber \\ 4a^2+49 &= (2b+7)^2, \nonumber\\ 49 &= (2b+7)^2-4a^2, \nonumber\\ 7 \cdot 7 &= (2b+7-2a)(2b+7+2a). \tag{2}\end{align}\] Poznamenajme, že k tejto rovnici sa dá dostať aj tak, že sa na rovnicu v zadaní pozrieme ako na kvadratickú rovnicu v \(b\), vyjadríme jej korene a upravíme.
Ľavá strana rovnice \((2)\) je kladná a druhá zátvorka na pravej strane je kladná (keďže \(a,b\) sú nezáporné), takže aj \(2b+7-2a\) je kladné. Navyše obe zátvorky na pravej strane sú celočíselné a \(2b+7-2a\le 2b+7+2a\), a tak sú len dve možnosti – buď je prvá rovná \(1\) a druhá \(49\), alebo sa obe rovnajú \(7\). V prvej možnosti sčítaním oboch zátvoriek dostaneme \(4b+14 = 50\), z čoho \(b=9\) a potom \(a^2=9\cdot(9+7) = 144\) platí práve pre \(a=12\). V druhej možnosti, teda keď sú obe zátvorky rovné \(7\), ich odčítaním dostaneme \(a=0\). Potom \(0 = b(b+7)\) platí práve pre \(b=0\), keďže pre nezáporné \(b\) je \(b+7\) kladné.
Rovnica zo zadania tak má práve dve riešenia, a to \((a,b)=(12,9)\) a \((a,b)=(0,0)\).
Tretie riešenie
Ak \(b=0\), tak \(a=b(b+7)=0\cdot 7 =0\). Ak \(a = 0\), tak \(b(b+7)=0\), a keďže \(b+7>0\), tak nutne \(b=0\). Teda ak je jedno z čísel \(a,b\) rovné nule, tak obe sú. Dosadením do zadania overíme, že obe strany rovnice majú vtedy hodnotu nula, a teda \(a=b=0\) je jedným riešením. Po zvyšok riešenia už môžeme predpokladať, že \(a\) aj \(b\) sú kladné. Potom \(b(b+7)\ge 7\), a teda \(a^2\) aj \(b(b+7)\) majú prvočíselný rozklad.
Nech \(d\) je najväčší spoločný deliteľ čísel \(b\) a \(b+7\) (keďže sú obe kladné, tak existuje). Potom \(d\) delí aj ich rozdiel, teda \(7\). No a keďže \(7\) je prvočíslo, tak \(d\) môže byť len \(1\) alebo \(7\).
Ak \(d=1\), tak každé prvočíslo \(p\), ktoré delí ľavú stranu rovnice v zadaní, delí aj pravú, a keďže čísla \(b\) a \(b+7\) sú nesúdeliteľné, tak \(p\) delí práve jedno z nich. Keďže ľavá strana je štvorec, tak maximálna mocnina, v ktorej \(p\) delí ľavú stranu, je párna. Keďže \(p\) delí len jedno z čísel \(b,b+7\), tak maximálna mocnina, v ktorej ho delí, je tiež párna. Toto platí pre všetky prvočísla deliace \(a\) a zjavne hociaké prvočíslo, ktoré delí \(b\) alebo \(b+7\), delí pravú stranu, takže delí aj ľavú stranu rovnice v zadaní, a teda delí aj \(a\). Máme tak, že každé prvočíslo, ktoré delí \(b\), ho delí v párnej mocnine, takže \(b\) je štvorec (všimnime si, že toto tvrdenie platí aj keď \(b=1\)). Podobne aj \(b+7\) je štvorec. Existujú teda prirodzené čísla \(k,l\) také, že \(b = k^2\) a \(b+7 = l^2\). Potom ich odčítaním dostaneme \(l^2-k^2=7\), a teda \[(l-k)(l+k)=7.\] Keďže \(k,l\) sú prirodzené, platí \(l+k\ge 2\), no jediný taký deliteľ čísla \(7\) je \(7\). Takže \(l+k=7\), a potom \(l-k=1\). Odčítaním druhej rovnice od prvej dostaneme \(2k=6\), a teda \(k=3\). Potom \(b = k^2=9\). Rovnica v zadaní potom platí práve vtedy, keď \(a^2=9\cdot (9+7)=144\), čo je pre nezáporné celé \(a\) práve vtedy, keď \(a=12\).
Ak \(d = 7\), tak podobnou úvahou dostaneme \(b = 7k^2, b+7 = 7l^2\) pre nejaké prirodzené \(k,l\). Opäť odčítaním jednej rovnice od druhej dostaneme \[\begin{align} 7(l^2-k^2) &= 7, \\ (l-k)(l+k) &= 1.\end{align}\] No obe zátvorky na ľavej strane sú celé čísla a navyše \(l+k\ge 2\), ale \(2\) nedelí \(1\), takže žiadne iné riešenie neexistuje.
Úloha tak má dve riešenia, a to \((a,b)=(0,0)\) a \((a,b)=(12,9)\).
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.