7. Krviprelievanie, Mordovanie, Smútok vzorové riešenie

Výrok, že body \(Y\), \(X\) a \(L\) ležia na jednej priamke práve vtedy, keď bod \(L\) je stredom kružnice vpísanej do trojuholníka \(CGN\), je ekvivalencia. Preto, aby sme dokázali, že tento výrok platí vždy, musíme dokázať dve tvrdenia:

1. Ak je bod \(L\) stredom kružnice vpísanej do trojuholníka \(CGN\), potom body \(Y\), \(X\) a \(L\) ležia na jednej priamke.

2. Ak body \(Y\), \(X\) a \(L\) ležia na jednej priamke, potom bod \(L\) je stredom kružnice vpísanej do trojuholníka \(CGN\).

Prvá implikácia

Zo zadania vieme, že platí \(|\sphericalangle LNY| = |\sphericalangle GLX| = \alpha\) a \(|\sphericalangle XGL| = |\sphericalangle YLN| = \beta\). Predpokladajme, že bod \(L\) je stredom kružnice vpísanej do trojuholníka \(CGN\). Z toho vyplýva, že priamky \(GL\) a \(NL\) sú postupne osami uhlov \(\sphericalangle XGN\) a \(\sphericalangle GNY\). Z toho ďalej vyplýva, že \(|\sphericalangle XGL| = |\sphericalangle LGN| = \beta\) a \(|\sphericalangle GNL| = |\sphericalangle LNY| = \alpha\). Z trojuholníka \(NGL\) vieme, že \(|\sphericalangle NLG| = 180^\circ - \alpha - \beta\).

Aby body \(Y\), \(X\) a \(L\) ležali na jednej priamke, musí platiť, že uhol \(|\sphericalangle YLX| = 180^\circ\).

Teraz sa vráťme k tomu, čo chceme dokázať, teda \[|\sphericalangle YLX| = |\sphericalangle YLN| + |\sphericalangle NLG| + |\sphericalangle GLX| = \beta + (180^\circ - \alpha - \beta) + \alpha = 180^\circ.\] Tým sme dokázali, že ak je \(L\) stredom kružnice vpísanej do trojuholníka \(CGN\), tak body \(Y\), \(X\) a \(L\) ležia na jednej priamke.

Druhá implikácia

K tejto implikácii, keďže je náročnejšia, si načrtneme aj obrázok. Často sa však stáva, že ak si nakreslíme obrázok, ktorý je pomerne presný, tak omylom použijeme veci, ktoré na ňom nejak vyzerajú a ešte sme ich nedokázali (napr. že niečo je os uhla). Preto nie je na škodu si kresliť obrázky, ktoré až tak reprezentatívne nie sú. Z tohto obrázka určite neusúdime, že \(NL\) je osou uhla \(CNG\) bez toho, aby sme to dokázali.

Chceme dokázať, že ak body \(Y\), \(X\) a \(L\) ležia na jednej priamke, potom bod \(L\) je stredom kružnice vpísanej do trojuholníka \(CGN\).

Ponecháme si označenia z prvej časti, teda \(|\sphericalangle LNY| = |\sphericalangle GLX| = \alpha\) a \(|\sphericalangle XGL| = |\sphericalangle YLN| = \beta\). Z trojuholníkov \(NLY\) a \(LGX\) vieme povedať, že sú podobné podľa vety o podobnosti \(uu\) a platí \[|\sphericalangle LXG| = |\sphericalangle LYN| = 180^\circ - \alpha - \beta.\] Ak predpokladáme, že body \(Y\), \(X\) a \(L\) ležia na jednej priamke, potom tiež platí, že \(|\sphericalangle NLG| = 180^\circ - \alpha - \beta\).

Aby sme dokázali, že bod \(L\) je stredom kružnice vpísanej do trojuholníka \(CGN\), musíme preukázať, že priamky \(GL\) a \(NL\) sú osami uhlov \(\sphericalangle XGN\) a \(\sphericalangle GNY\). Na to by nám stačilo ukázať, že \(|\sphericalangle XGL| = |\sphericalangle LGN| = \beta\) a \(|\sphericalangle GNL| = |\sphericalangle LNY| = \alpha\). V tomto prípade by platilo, že trojuholníky \(NGL\), \(LGX\) a \(NLY\) sú podobné podľa vety \(uu\), stačí nám teda ukázať podobnosť týchto trojuholníkov.

Na to sa môžeme skúsiť pozrieť cez vetu \(sus\). Spoločný uhol už máme, lebo \(|\sphericalangle NLG| = |\sphericalangle LXG| = |\sphericalangle LYN| = 180^\circ - \alpha - \beta\), preto nám už zostáva len dokázať, že pomer strán je rovnaký, čiže \[\frac{|NL|}{|LG|} = \frac{|LX|}{|GX|} = \frac{|NY|}{|LY|}.\]

Vieme, že \(|\sphericalangle LYC| = |\sphericalangle LXC| = 180^\circ - (180^\circ - \alpha - \beta) = \alpha + \beta\). Z toho vyplýva, že trojuholník \(CXY\) je rovnoramenný, takže \(|XL| = |LY|\), lebo priamka \(CL\) je osou uhla \(\sphericalangle XCY\) v rovnoramennom trojuholníku.

Ako sme ukázali na začiatku tejto implikácie, \(GXL\) a \(LNY\) sú podobné, a preto platí \[\frac{|XL|}{|LG|} = \frac{|NY|}{|NL|},\] čo znamená, že \(\frac{|NL|}{|LG|} = \frac{|NY|}{|XL|}\), teda \(\frac{|NL|}{|LG|} = \frac{|NY|}{|LY|}\).

Tým sme dokázali, že trojuholníky \(GLN\) a \(LNY\) sú podobné, a preto platí, že \(|\sphericalangle LGN| = |\sphericalangle YLN| = \beta\) a \(|\sphericalangle LNG| = |\sphericalangle LNY| = \alpha\). Z toho vyplýva, že \(GL\) a \(NL\) sú osami uhlov, a teda bod \(L\) je skutočne stredom kružnice vpísanej do trojuholníka \(CGN\).