8. Karteziánova Mocná Sieť vzorové riešenie

Z každej rovnice si môžeme dať jednotku na druhú stranu a potom upraviť ľavú stranu, čím dosiahneme o niečo krajší tvar \[\begin{align} x(x+1) &= y+1, \\ y(y+1) &= z+1, \\ z(z+1) &= x+1.\end{align}\]

Teraz máme na oboch stranách podobné výrazy, tak by sme sa ich chceli nejak zbaviť. Problém je, že rovnaké premenné sú v rôznych rovniciach. To vieme vyriešiť dvoma spôsobmi. Jednak tie rovnice vieme sčítať. Po roznásobení a vykrátení dostaneme \(x^2+y^2+z^2=3\). Okrem toho ich vieme aj vynásobiť, čím dostaneme \[xyz(x+1)(y+1)(z+1)=(x+1)(y+1)(z+1).\] Chceli by sme vykrátiť tie zátvorky, ale na to potrebujeme, aby boli nenulové. Predpokladajme teda, že nejaká zo zátvoriek je \(0\), bez ujmy na všeobecnosti nech je to \(x+1\). Dosadením \(x=-1\) do pôvodnej sústavy dopočítame, že vtedy aj \(y=z=-1\). V opačnom prípade (keď sú všetky zátvorky nenulové) dostávame \(xyz=1\).

Máme tu teraz nejaký súčet a súčin, čo by nám mohlo pripomenúť AG-nerovnosť. Tá ale platí len pre nezáporné čísla, a \(x\), \(y\) a \(z\) môžu byť aj záporné. Našťastie v súčte máme ich štvorce, ktoré nezáporné sú, tak ich pridajme aj do súčinu: ak \(xyz=1\), potom aj \(x^2y^2z^2=1\).

AG-nerovnosť nám hovorí, že \[\frac{x^2+y^2+z^2}{3}\geq \sqrt[3]{x^2y^2z^2},\] ale my chceme, aby obe strany boli rovné \(1\). Veta o AG-nerovnosti nám navyše hovorí, že rovnosť nastáva práve vtedy, keď sú všetky tie čísla rovnaké, teda \(x^2=y^2=z^2=1\). Prípad, keď je \(x\), \(y\) alebo \(z\) rovné \(-1\) sme už vyriešili, takže ostáva len riešenie \(x=y=z=1\).

Riešenie rozoberaním prípadov

Nevýhoda predošlého riešenia je, že treba poznať AG-nerovnosť a dosť trikovo ju použiť. Ak nám také niečo nenapadne, vieme úlohu vyriešiť aj priamočiarejšie, aj keď také riešenie bude o niečo dlhšie a bude treba viac počítať.

Nech \(f(x) = x^2 + x - 1\), potom sústava je \(f(x) = y, f(y) = z, f(z) = x\). Nech \(M\) je nejaká množina čísel, potom \(f(M)\) budeme označovať jej obraz, teda množinu \(f(x)\) pre všetky \(x\in M\). Platí, že \(\min f(x) = -5/4\) a funkcia ho dosahuje pre \(x=-1/2\) (ide o vrchol paraboly, ktorý sa nachádza uprostred riešení \(f(x)=0\)), takže všetky neznáme musia byť aspoň \(-5/4\). Teraz rozoberieme, čo môže byť \(x\).

Môžeme si všimnúť, že ak \(x = 1\), máme riešenie \(x=y=z=1\), a ak \(x = -1\), máme riešenie \(x=y=z=-1\). Ďalej dokážeme, že iné riešenie neexistuje.

Ak \(x > 1\), potom \(f(x) > x\), teda postupným dosadením do sústavy dostaneme \(x < y < z < x\), čo je spor.

Ďalej sa pozrime na prípad \(-5/4\leq x\leq 0\). Všimnime si, že \(f([-5/4, -1])\) je podmnožinou \([-1, 0]\) a \(f([-1, 0]) = [-5/4, -1]\) (tie zátvorky znamenajú uzavreté intervaly). Ak teda \(x\) zvolíme v jednom z týchto intervalov, dosadením do sústavy zistíme, že musí byť zároveň v tom druhom. Navyše, tieto dva intervaly majú jediný spoločný bod, a to \(-1\). Jediná možnosť je teda \(x = -1\), čo nám dá riešenie \(x=y=z=-1\).

Ďalej môžeme predpokladať, že ani \(y, z\notin [-5/4, 0]\), inak by sme totiž dostali to isté čo v prípade \(x\), ibaže hodnoty neznámych by boli cyklicky posunuté.

Ostáva ešte prípad \(0 < x < 1\), kedy platí \(f(x) < x\). Keďže predpokladáme, že \(y\notin [-5/4, 0]\), tak aj \(y\in (0, 1)\). Takto ďalej dostaneme, že \(x > y > z > x\), čo je spor. Žiadne ďalšie riešenia teda neexistujú.

Riešenie derivovaním

Nakoniec tu máme riešenie, ktoré je síce najkratšie, ale vyžaduje najviac počítania, takže ho asi nechcete robiť ručne, ale použiť nejaký program ako napríklad WolframAlpha. Podotýkame však, že v KMS za riešenia s využitím výpočtovej techniky obvykle nedávame veľa bodov.

Dosaďme prvú rovnicu do druhej a to do tretej. Po úprave dostaneme \[\begin{align} ((x^2+x-1)^2+x^2+x-1-1)^2+(x^2+x-1)^2+x^2+x-1-1-1-x &= 0, \\ (x - 1) (x + 1) (x^6 + 4 x^5 + 5 x^4 + 2 x^3 + 1) &= 0.\end{align}\] Máme teda korene \(\pm 1\) (ktoré vedú k riešeniam \(x=y=z=\pm 1\)), a ďalej chceme dokázať, že ten polynóm 6-teho stupňa v zátvorke (označme ho \(P\)) nemá žiadne reálne korene. \(P\) má kladný vedúci koeficient, teda v \(\pm\infty\) má hodnotu \(+\infty\), takže aby mal koreň, musí mať minimum \(\leq 0\). Polynómy ale majú vo všetkých lokálnych minimách nulovú deriváciu. Derivácia \(P\) je \(2 x^2 (x + 1) (3 x^2 + 7 x + 3)\), čoho korene už vieme jednoducho nájsť a overiť, že všetky lokálne minimá \(P\) sú kladné, teda \(P\) nemá korene a žiadne ďalšie riešenia neexistujú.