1. Kóši Mučí Skalpelom $\left(\kappa \le 0\right)$ vzorové riešenie

Zadanie

Doktor Kóši mal čoraz častejšie problém sústrediť sa na svoju prácu. Dôvodom bol In Te, kráľov vezír, ktorý sa pozýval k nemu do laboratória.

„Potrebujem už len pár dní a všetko bude pripravené.“

„Nemáš ‚pár dní‘. Kráľ očakáva svoju novú armádu...“

„Je to nematematické, spraviť z vazalov poddajných otrokov...“

„Ty sa nezaoberaj tým, čo matematické je a čo nie. To nie je Tvoja práca. Keď sa Ti úloha nepozdáva, zavolaj si na pomoc pána Švarca.“

Pri tomto mene doktora zamrazilo. Ako mohol vezír vedieť o jeho alteregu? In Te odišiel a nechal Kóšiho osamote. Ten upriamil pozornosť späť na svoju prácu.

Doktor Kóši pozrel na svoj skalpel a zarezal ním do Trojuholníka \(ADB\). Trojuholník \(ADB\) mal tuhý korienok. Jeho strana \(AD\) bola dlhá \(12\) cm. Avšak ani to trojuholníku nepomohlo. Kóši ním viedol dva rezy ako na obrázku, čím ho rozdelil na trojicu Trojuholníkov. Trojuholníky \(ACB\) a \(ECD\) boli pravouhlé, rovnoramenné a obsah Trojuholníka \(EDB\) bol \(9 \text{ cm}^2\). Aký bol obsah trojuholníka \(ABD\)?

Zo zadania vieme, že trojuholník \(ACB\) je rovnoramenný a má pravý uhol pri bode \(C\). Jeho ramenami sú strany \(AC\) a \(CB\), a teda \(|AC| = |CB|\). Zároveň aj trojuholník \(ECD\) je rovnoramenný a má pravý uhol pri bode \(C\). Jeho ramenami sú strany \(CD\) a \(EC\), čiže \(|CD| = |EC|\). Strana \(AD\) má dĺžku \(12\) cm a \(|AD| = |AC| + |CD|\). Dĺžku \(CD\) si môžeme označiť \(x\) a dĺžka \(AC\) bude tým pádom \(|AC| = 12 - x\). Dĺžka \(BE\) je \(|BE|=|BC| - |EC| = 12-x-x = 12-2x\).

Zo zadania tiež vieme, že trojuholník \(EBD\) má obsah 9. Jeho obsah vieme vypočítať, pretože poznáme dĺžku jeho podstavy \(BE\) a výšky \(CD\). Zo vzorca na obsah trojuholníka dostaneme \[\begin{align} \frac{|BE|\cdot|CD|}{2} &= 9,\\ \frac{(12-2x)\cdot x}{2} &= 9,\\ 12x-2x^2 &= 18,\\ -2x^2 + 12x -18 &= 0,\\ x^2 - 6x + 9 &= 0,\\ (x-3)^2 &= 0.\end{align}\] Jediným riešením tejto rovnice je \(x=3\). Dĺžka \(AC\) je potom \(|AC| = 12 - 3 = 9\). Keďže \(AC\) a \(CB\) majú rovnakú dĺžku, vieme, že \(|CB| = 9\).

Teraz už vieme zistiť obsah trojuholníka \(ADB\), keďže poznáme dĺžku jeho podstavy \(AD\) a výšky \(CB\) na ňu. \[\begin{align} S_{\triangle ADB} &= \frac{|AD|\cdot|CB|}{2},\\ S_{\triangle ADB} &= \frac{12\cdot9}{2},\\ S_{\triangle ADB} &= 54.\end{align}\] Trojuholník \(ADB\) má obsah \(54 \text{ cm}^2\).