4. Kružnice Mužstvo Skonvertujú $\left(\kappa \le 2\right)$ vzorové riešenie

Na úplnom začiatku je dobré si predstaviť, ako bude situácia vyzerať na obrázku. Pokiaľ má bod \(Y\) ležať na úsečke \(B\check{C}\), a zároveň body \(B, \check{C}\) ležia na kružnici \(l\), ktorej je bod \(Y\) stredom, potom musí platiť, že bod \(Y\) je stredom úsečky, pretože vzdialenosť \(Y\) od \(B\) a \(Y\) od \(\check{C}\) je polomer kružnice \(l\) (nazvime ho \(a\)).

Zo zadania vieme, že cez bod \(A\) prechádza kružnica \(l\), inými slovami bod \(A\) leží na kružnici \(l\). Zároveň vieme, že body \(B, \check{C}\) ležia aj na kružnici \(k\), ktorej stredom je bod \(A\), takže bod \(A\) je od oboch bodov rovnako vzdialený. Bod \(A\) teda leží na osi úsečky \(B\check{C}\) a zároveň kružnici \(l\). Máme teda celkovo \(2\) možnosti, kam ho umiestniť.

Bez ujmy na všeobecnosti uvažujme bod \(A_1\) ako náš bod \(A\). Vieme, že vzdialenosť bodu \(A\) od bodu \(Y\) je \(a\), pretože bod \(A\) leží na kružnici \(l\). Zároveň vieme, že uhly \(AYB\) a \(AY\check{C}\) sú pravé, keďže bod \(A\) leží na osi úsečky \(B\check{C}\). Tým pádom vieme dorátať dĺžku strany \(AB\) cez Pytagorovu vetu ako \[\begin{align} |AY|^2 + |BY|^2 &= |AB|^2, \\ \sqrt{a^2+a^2} &= a\sqrt{2}.\end{align}\]

Podobne si vieme dorátať aj dĺžku strany \(A\check{C}\). O týchto stranách zároveň vieme, že sú polomerom kružnice \(k\).

Vieme, že bod \(X\) je vzdialený od bodu \(A\) dvojnásobok \(|AY| = a\), teda \(X\) je od \(A\) vzdialený \(2a\). Polomer kružnice \(k\) je \(a\sqrt{2}\), čo je menej ako \(2a\), teda bod \(X\) sa nachádza mimo kružnice \(k\). Tým sme dokázali časť \(1\).

Teraz zostrojme dotyčnicu ku kružnici \(k\) z bodu \(X\) cez dotykový bod \(T\). Zároveň veďme k tomuto bodu úsečku z bodu A. Keďže bod \(T\) leží na kružnici \(k\), tak jeho vzdialenosť od bodu \(A\) je polomer kružnice \(k\), teda \(a\sqrt{2}\). Navyše vieme, že vzdialenosť bodov \(X, A\) je \(2a\) a v bode \(T\) sa nachádza pravý uhol, pretože tam máme dotyčnicu. Z Pytagorovej vety teda opäť vieme dorátať dĺžku strany \(XT\). \[\begin{align} |XT|^2 &= |XA|^2 - |AT|^2,\\ |XT| &= \sqrt{(2a)^2-\left(a\sqrt{2}\right)^2} = \sqrt{4a^2-2a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}.\end{align}\]

Analogicky určíme, že \(|XD|=a\sqrt2\).

Vidíme, že štvoruholník \(ATXD\) je štvorec, pretože všetky jeho strany sú rovnaké a má \(2\) pravé uhly (premyslite si, že potom musí mať aj zvyšné dva). Teda vieme, že jeho uhlopriečky sú rovnako dlhé, pretínajú sa v strede a sú na seba kolmé. Z toho vieme, že dĺžka úsečky \(TD\) je \(2a\), zároveň vieme, že je rovnobežná s úsečkou \(B\check{C}\), pretože obe sú kolmé na \(AY\).

Nazvime si teraz priesečník uhlopriečok \(AX\) a \(TD\) ako bod \(P\).

Vidíme, že bod \(P\) je od bodu \(Y\) vzdialený \(2a\), oba body \(Y\) aj \(P\) sú postupne stredy strán \(\check{C}B\) a \(TD\) a zároveň sú obe tieto strany kolmé na \(PY\). Z toho vidno, že úsečky \(BT\), \(\check{C}D\) sú obe rovnobežné s \(PY\), zároveň z toho vidno, že aj body \(B, T\) sú od seba vzdialené \(2a\), ako aj body \(\check{C}, D\).

Môžeme vidieť, že všetky strany štvoruholníka \(\check{C}BTD\) sú rovnako dlhé a zároveň vieme, že jeho strany sú rovnobežné, z toho vidíme, že \(\check{C}BTD\) je rovnobežník. Jediný rovnobežník s rovnakými dĺžkami strán, ktorému vieme opísať kružnicu je štvorec. Čo Bolo Treba Dokázať.