Zadanie
Kombistanci boli šokovaní a znechutení rozprávaním Petra Senova. Rozhodli sa teda vyslať delegáciu za kráľom Kardánom Abelom Gaussom Hornerom, aby mu zvestovala ich obavy. V trónnej sále Al-Gebry však čakalo ďalšie nepríjemné prekvapenie. Počas rozprávania delegácie si kráľ niečo šepkal so svojim vezírom. Nakoniec rozprávanie ukončil nesúvisiacou otázkou.
„Existujú také reálne čísla \(x, y, z\), že \[\frac{1}{(x-y)(x+y)}+\frac{1}{(y-z)(y+z)}+\frac{1}{(z-x)(z+x)}=0\text{?“}\]
Na začiatok si uvedomme, že \(x\neq y\) a \(x \neq -y\). Podobne pre ostatné dvojice, inak by výraz v menovateli nebol definovaný. Dobre, roznásobme zátvorky v menovateľoch a upravme na spoločný menovateľ. Dostávame \[\frac{(y^2-z^2)(z^2-x^2)+(x^2-y^2)(z^2-x^2)+(x^2-y^2)(y^2-z^2)}{(x^2-y^2)(y^2-z^2)(z^2-x^2)}=0.\]
Teraz môžeme rovnicu vynásobiť nenulovým menovateľom a dostávame tvar \[(y^2-z^2)(z^2-x^2)+(x^2-y^2)(z^2-x^2)+(x^2-y^2)(y^2-z^2)=0.\]
Ďalej sa dalo postupovať rôzne, no ukazuje sa, že relatívne pekne fungovalo zatnúť zuby a roznásobiť to1. My zatneme zuby a dostaneme \[(y^2z^2-z^4-x^2y^2+x^2z^2)+(x^2z^2-y^2z^2-x^4+x^2y^2)+(x^2y^2-y^4-z^2x^2+z^2y^2)=0.\]
Sčítame rovnaké členy, prenásobíme \(-1\) a dostávame \[x^4+y^4+z^4-y^2z^2-x^2y^2-x^2z^2=0\]
Nasleduje drobný trik, ktorý je hlavnou pointou celej úlohy a vcelku sa ho oplatí poznať. Prenásobením rovnice dvomi a preusporiadaním dostávame \[x^4-2x^2y^2+y^4+y^4-2y^2z^2+z^4+z^4-2z^2x^2+x^4=0,\] čo vieme upraviť na štvorce a dostať \[(x^2-y^2)^2+(y^2-z^2)^2+(z^2-x^2)^2=0.\]
Tento výraz má riešenie, iba ak \(x^2=y^2\), tzn. \(x=y\) alebo \(x=-y\). Avšak na začiatku sme si povedali, že žiaden z týchto prípadov nespĺňa pôvodnú rovnicu, lebo preň nie je definovaná.
No pain, no gain. Avšak dalo sa to spraviť aj bez toho↩︎
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.