Zadanie
Kráľ zomrel. S tým by sa obyvatelia Al-Gebry dokázali vysporiadať, avšak Kardáno Abel Gauss Horner bol zavraždený. To ľudí mimoriadne pobúrilo. Hneď, ako sa to dozvedel vezír In Te, povolal vyšetrovací tím. Ten sa s najmodernejším vybavením pustil do práce. Vyšetrovatelia zbierali vzorky, zaznamenávali dôkazy, analyzovali stopy a hlavne prezerali miesto činu.
Miesto činu vyzeralo ako rôznostranný ostrouhlý trojuholník \(ABC\). Opísanú kružnicu trojuholníka označme \(k\). Kráľ ležal v strede \(K\) jeho vpísanej kružnice. Body \(D\), \(E\), \(F\) sú body dotyku vpísanej kružnice postupne so stranami \(BC\), \(AC\), \(AB\). Ďalej označme postupne \(P\), \(Q\) priesečníky \(k\) s priamkami \(BK\), \(CK\), a priesečník priamok \(PE\) a \(QF\) ako \(L\). Dokážte, že stred kružnice \(k\) leží na priamke \(KL\).
Označme \(O\) stred kružnice \(k\). Podľa zadania nám stačí ekvivalentne dokázať, že bod \(L\) leží na priamke \(KO\), resp. že priamky \(KO, PE\) a \(QF\) sa pretínajú v jednom bode. Ak dokážeme ľubovoľné z týchto tvrdení, tak máme vyhrané. My sa zameriame na to posledné.
Než sa však pustíme do dokazovania, preskúmajme najprv body, ktoré dané priamky definujú. Bod \(K\) je stredom vpísanej, bod \(O\) stredom opísanej kružnice. V bodoch \(E\) a \(F\) sa vpísaná kružnica dotýka strán trojuholníka. Najzaujímavejšie sú body \(P\) a \(Q\). Priamka \(BK\), na ktorej leží \(P\), je os uhla \(\sphericalangle ABC\). Je známe, že os uhla pretína kružnicu opísanú trojuholníku v strede kružnicového oblúka, v tomto prípade medzi \(A\) a \(C\).1 Jedná sa o tzv. Švrčkov bod trojuholníka \(ABC\) voči bodu \(B\). Bod \(P\) teda zároveň leží aj na osi strany \(AC\). Rovnako by sme dokázali, že aj bod \(Q\) leží na osi strany \(AB\).
Na osiach strán trojuholníka leží aj stred \(O\) jeho opísanej kružnice. Úsečky \(OP\) a \(OQ\) sú teda kolmé postupne na \(AC\) a \(AB\). Podobne, keďže v bodoch \(E\) a \(F\) sa vpísaná kružnica dotýka strán trojuholníka, platí, že aj \(KE\) je kolmá na \(AC\) a \(KF\) je kolmá na \(AB\). Môžeme tak napísať \(OP \parallel KE\) a \(OQ \parallel KF\).
V tomto momente sme sa dostali k rovnobežnosti úsečiek, ktorú by sme radi použili na dôkaz, že sa nejaké tri priamky pretínajú v jednom bode. S tým nám pomôže rovnoľahlosť. Ak nejaká rovnoľahlosť zobrazuje bod \(K\) na bod \(O\), bod \(E\) na bod \(P\) a bod \(F\) na bod \(Q\), tak stred tejto rovnoľahlosti leží na priamkach \(KO, PE\) a \(QF\). Dokážeme, že trojuholníky \(KEF\) a \(OPQ\) sú rovnoľahlé.
Už vieme, že platí \(KE \parallel OP\) a \(KF \parallel OQ\). Na rovnoľahlosť nám stačí ukázať, že sú tieto trojuholníky podobné, ale nie zhodné. V opačnom prípade by mohli byť priamky \(KO, PE\) a \(QF\) rovnobežné. Začnime zdôvodnením, prečo nie sú zhodné. Prvým krokom je uvedomenie si, že úsečky \(KE\) a \(KF\) sú polomery vpísanej kružnice, a teda \(|KE| = |KF|\). Analogicky \(|OP| = |OQ|\), keďže sa jedná o polomery kružnice \(k\) opísanej trojuholníku \(ABC\). Potom aj \(|OP| > |KE|\) a trojuholníky zhodné nie sú. Navyše \[\frac{|KE|}{|OP|} = \frac{|KF|}{|OQ|}.\]
Pozrime sa teraz na uhly medzi spomínanými úsečkami. Uhol \(EKF\) je súčasťou štvoruholníka \(AEKF\). Už vieme, že uhly \(AEK\) a \(AFK\) sú pravé. Keď označíme \(\alpha\) uhol \(EAF\), vieme vyjadriť zvyšný uhol ako \[|\sphericalangle EKF| = 360^\circ - 2 \cdot 90^\circ - \alpha = 180^\circ - \alpha.\]
Podobný postup nám prejde aj pre uhol \(POQ\). Priamky \(OP\) a \(OQ\) sú kolmé postupne na strany \(AC\) a \(AB\). Označme \(X\) priesečník \(OP\) a \(AC\) a \(Y\) priesečník \(OQ\) a \(AB\). Keďže \(P\) a \(Q\) ležia zvonka trojuholníka \(ABC\) a \(O\) ako stred opísanej kružnice ostrouhlého trojuholníka leží vnútri, môžeme povedať, že \(\sphericalangle XOY\) je totožný s \(\sphericalangle POQ\). Opäť tak dostávame štvoruholník \(AXOY\) s pravými uhlami \(AXO\) a \(AYO\) a uhlom s veľkosťou \(|\sphericalangle XAY| = \alpha\). Platí teda \[|\sphericalangle POQ| = |\sphericalangle XOY| = 360^\circ - 2 \cdot 90^\circ - \alpha = 180^\circ - \alpha = |\sphericalangle EKF|.\]
Tým sme ukázali, že trojuholníky \(KEF\) a \(OPQ\) sú podobné podľa vety \(sus\). Tým, že majú rovnobežné dve dvojice strán, tak sú zároveň rovnoľahlé, takže priamky \(KO, PE\) a \(QF\) sa pretínajú v jednom bode, čo sme chceli dokázať.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.