10. Koordinujeme Množstvo Svalnáčov vzorové riešenie

Z uvedenej rovnice vidíme, že \(f(x)>f(x+y)\), keďže hodnota \(f(x+x^2f(y))\) je kladná (zo zadania). To ale znamená, že funkcia \(f\) musí byť klesajúca, lebo \(x<x+y\) a \(x, y\) sú ľubovoľné kladné reálne čísla. Z klesajúcosti nám automaticky vyplýva aj prostosť funkcie \(f\)¹. Dosaďme do rovnice dvojicu \([1,y]\) za \([x, y]\). Dostávame \[\tag{1} f(1) = f(1+y) + f(1 + f(y)).\] Teraz by sme chceli vytvoriť člen \(f(1+f(y))\) druhým spôsobom, aby sme sa ho odčítaním zbavili. Dosaďme preto dvojicu \([1,f(y)]\), čím dostávame \[\tag{2} f(1) = f(1+f(y)) + f(1 + f(f(y))).\] Odčítaním a úpravou rovníc (1) a (2) dostávame \[\tag{3} f(1+y)=f(1+f(f(y))).\]

Keďže už vieme, že \(f\) je prostá, z rovnosti (3) vyplýva \[\begin{align} 1+y &= 1 + f(f(y)),\nonumber\\ \tag{4} f(f(y)) &= y.\end{align}\] Dosaďme do pôvodnej rovnice dvojicu \([x, f\left(\frac{1}{x^2}\right)]\): \[f(x) = f\left(x + f\left(\frac{1}{x^2}\right)\right) + f\left(x + x^2f\left(f\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)\right),\] čo síce vyzerá hrozne, ale vďaka (4) to vieme upraviť a zbaviť sa zároveň \(f\)-ka, aj členu \(x^2\). \[\tag{5} f(x) = f\left(x + f\left(\frac{1}{x^2}\right)\right) + f\left(x + 1\right).\] Do pôvodnej rovnice dosadíme dvojicu \([x,1]\): \[\tag{6} f(x) = f(x+1) + f(x+x^2f(1)).\] Odčítaním a úpravou rovností (5) a (6) dostávame \[f\left(x+f\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)=f(x+x^2f(1)),\] z čoho opäť vďaka prostosti funkcie \(f\) vyplýva \[\begin{align} x+f\left(\frac{1}{x^2}\right)&=x+x^2f(1),\nonumber\\ \tag{7} f\left(\frac{1}{x^2}\right)&=x^2f(1).\end{align}\] Dosadením \({\frac{1}{\sqrt{x}}}\) do rovnosti (7) tak nakoniec dostávame \[f(x)=\frac{f(1)}{x}.\] Za hodnotu \(f(1)\) môžeme pripustiť ľubovoľnú konštantu \(c \in \mathbb{R}^+\). Dôsledkovými úpravami sme tak odvodili, že ak má existovať nejaké riešenie pôvodnej funkcionálnej rovnice, musí ísť o riešenie tvaru \(f(x)=\frac{c}{x}\). Aby sme toto riešenie overili, potrebujeme ešte urobiť skúšku správnosti, čiže dosadiť toto riešenie do pôvodnej rovnice. Po dosadení dostávame \[\begin{align} \frac{c}{x} &= \frac{c}{x+y} + \frac{c}{x+x^2\frac{c}{y}},\\ (x+y)\left( x + x^2\frac{c}{y} \right) &= x\left(x+x^2\frac{c}{y}\right) + x(x+y),\\ cx^2&=x^2. \end{align}\] Zo skúšky vidíme, že aby rovnica platila, musí byť \(c=1\). Dostávame jediné riešenie danej funkcionálky, a to \(f(x)=\frac{1}{x}\).