Zadanie
In Te sa po neúspešnom atentáte na svoju osobu rozhodol vziať pomstu do vlastných rúk. So zariadením kružnicovej inverzie mal pod palcom ovládanie Geometrov. V jeho rukách sa stali rozhodujúcim prvkom bojov proti Matematickej Analýze. Spolu s vojskom Al-Gebry sa Geometri dostali až k bájnemu Palácu nekonečna, no tu začala kružnicová inverzia haprovať. In Te si zavolal jedného z generálov Al-Gebry, samotného hrdinu Karteziána, a poslal ho aj so zariadením za doktorom Kóšim, aby ho opravil. Pred In Tem stála posledná prekážka.
Veľmajster Sierpinski svoj trojuholník \(ABC\), chrániaci vstup do Paláca nekonečna, ešte stále nedokončil. Nevadí, aspoň preň platí \(|AB| = |AC|\). Označme \(D\) stred strany \(BC\) a \(E\) kolmý priemet \(D\) na \(AB\). Ďalej, nech \(M\) je stred úsečky \(DE\). Dokážte, že priamky \(AM\) a \(CE\) sú na seba kolmé.
Ak si nakreslíme všetky zadané úsečky do obrázka, nie je na prvý pohľad jasné, ako uchopiť priamky \(AM\) a \(CE\). Skúsme si preto najprv vyjadriť nejaké základné uhly. Označme si \(\vert \sphericalangle{ACB}\vert=\alpha\). Následne, z toho že \(AD\perp BC\) a \(DE\perp AB\) máme, že \(\vert \sphericalangle{EDA}\vert=\alpha\). Následne podľa vety uu sú si trojuholníky \(AED\) a \(ADC\) podobné.
Vieme, že bod \(M\) je stred strany \(ED\). Aby sme využili našu dokázanú podobnosť, označme si \(N\) stred \(DC\). Z podobností vieme, že ťažnica \(AN\) v trojuholníku \(ADC\) rozdelí uhol \(\sphericalangle{DAC}\) rovnako ako ťažnica \(AM\) v trojuholníku \(EAD\) uhol \(\sphericalangle{EAD}\). Teda \(\vert \sphericalangle{EAM}\vert=\vert \sphericalangle{DAN}\vert\), čo znamená, že \[\vert\sphericalangle{MAN}\vert=\vert\sphericalangle{MAD}\vert+\vert\sphericalangle{DAN}\vert=\vert\sphericalangle{MAD}\vert+\vert\sphericalangle{EAM}\vert=\vert\sphericalangle{EAD}\vert=90^\circ-\alpha.\] To je celkom zaujímavý vzťah vzhľadom na to, že \(MN\) je stredná priečka v trojuholníku \(EDC\) a je rovnobežná s \(EC\), a teda nám stačí dokázať, že \(AM\perp MN\).
Na to nám stačí dokázať, že \(AMDN\) ležia na kružnici nad priemerom \(AN\), lebo vieme, že \(\vert\sphericalangle{ADN}\vert=90^\circ,\) z čoho by vyplývalo, že aj \(\vert\sphericalangle{AMN}\vert=90^\circ\). To, že \(ADMN\) ležia na kružnici dokážeme tak, že si všimneme, že \[\vert\sphericalangle{MDN}\vert=\vert\sphericalangle{ADN}\vert+\vert\sphericalangle{MDA}\vert=90^\circ+\alpha=180^\circ-\vert\sphericalangle{EAD}\vert=180^\circ-|\sphericalangle MAN|.\]
Štvoruholník \(ADMN\) je naozaj tetivový, z čoho vyplýva, čo sme chceli.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.