8. Konanie Musíme Strestať vzorové riešenie

Keďže v množine \(M\) máme kladné celé čísla, určite bude niektoré z nich najmenšie. Označme ho \(a\). Potom pre ľubovoľný iný prvok \(m\) množiny \(M\) musí byť \[\frac{a^2}{m-a}\] prvkom množiny \(M\), a preto nemôže byť menší ako jej najmenší prvok \(a\). Dostaneme tak podmienku \[\begin{align} \frac{a^2}{m-a} &\geq a,\\ a &\geq m-a,\\ 2a &\geq m.\end{align}\] Dostali sme teda, že ľubovoľný prvok množiny \(M\) je najviac dvojnásobkom najmenšieho prvku tejto množiny. To znamená, že táto množina kladných celých čísel musí mať aj najväčší prvok, označme ho \(z\).

Nech má množina \(M\) iba dva prvky, a to \(a, z\). Potom musí byť prvkom množiny aj \(m=\frac{a^2}{z-a}\). Ak by \(m=a\), podobne ako vyššie dostaneme \(z=2a\), čiže vyhovujú všetky množiny \(\{a, 2a\}\) pre kladné celé číslo \(a\). V prípade \(m=z\) dostaneme zas \(a^2=z(z-a)\). Bez ujmy na všeobecnosti môžeme hľadať iba nesúdeliteľné riešenia tejto rovnice, pretože ak ju spĺňajú \((da, dz)\), tak ju spĺňajú aj \((a, z)\). Preto obe \(a, z\) nemôžu byť súčasne párne. Ak \(a\) aj \(z\) sú obe nepárne, na ľavej strane máme nepárne číslo, kdežto na pravej strane je číslo párne, čo nemôže nastať. Podobne nemôže nastať ani, že \(a\) je párne a \(z\) je nepárne, lebo vtedy by bola ľavá strana párna a pravá nepárna. Ostáva nám teda už len prípad, keď \(a\) je nepárne a \(z\) je párne, v ktorom ľavá strana je nepárna a pravá strana je párna, čo opäť nesedí.

Zostáva nám teda prípad, že má množina \(M\) aspoň tri prvky. Zoberme si ktorýkoľvek ďalší prvok množiny \(m\), čiže preň platí \(a < m < z\leq 2a\). Pozrime sa na podmienku pre prvky \(m, z\). Dostávame z nej, že \[\begin{align} \frac{m^2}{z-m}\leq 2a&<2m, \\ m &< 2z-2m,\\ m &< \frac23 z\leq\frac43 a.\end{align}\] Máme teda, že v intervale \(\left\langle\frac43a,2a\right)\) nie sú žiadne prvky \(M\). Navyše, z podmienky pre prvky \(a, m\) máme, že buď \(\frac{a^2}{m-a} = 2a\) alebo \[\begin{align} \frac{a^2}{m-a} &< \frac43a,\\ 3a &< 4(m-a),\\ \frac 74a &< m.\end{align}\] V prvom prípade máme \(a=2m-2a\), čiže \(m=\frac32a\). Následne však \(\frac{\frac94 a^2}{2a-\frac32 a}=\frac92 a\) musí byť prvkom \(M\), čo nie je možné. V druhom prípade sme dostali \(m<\frac43 a<\frac 74a<m\), čo je spor. Preto viacprvkové množiny existovať nemôžu, a teda jediné vyhovujúce množiny sú \(\{a, 2a\}\) pre kladné celé číslo \(a\).