Zadanie
O pár mesiacov na to bol opäť grafik Peter Senov na návšteve u svojho dobrého priateľa Feuera Sebastiana Bacha. Bach práve niečo maľoval pred domom, zvnútra bolo cítiť dobré jedlo a počuť radostné výkriky detí. Priatelia sa pozdravili a Peter si hneď všimol, že Feuer Sebastian je v dobrej nálade.
„Vieš, od toho súdu s tým kráľom Al-Gebry, tým In Tentom, či ako sa volal…Veľa sa toho zmenilo k lepšiemu. Kombistan si všimol naše útrapy a spolu s Teóriou Čísel apelovali u nového kráľa za zlepšenie našich podmienok. A on ich vypočul! Musím povedať, že kráľ Kartezián sa mi páči viac ako tí predchádzajúci. Umožnil návrat Pyty Gorovej, zrušil otročenie na nekonečných poliach, a tak sa môžem opäť venovať umeniu. Pozri, na čom teraz robím…“
Základom veľdiela Feuera Sebastiana Bacha bol rôznostranný trojuholník \(ABC\). Označme \(b\) os uhla \(ABC\) a \(c\) os uhla \(ACB\). Priamka \(b\) pretína stranu \(AC\) v bode \(B_1\) a kružnicu opísanú trojuholníku v bode \(B_2 \neq B\). Analogicky priamka \(c\) pretína stranu \(AB\) v bode \(C_1\) a opísanú kružnicu v bode \(C_2 \neq C\). Označme \(I\) priesečník priamok \(b, c\) a bod \(J\) zas priesečník priamky \(B_1C_1\) s priamkou \(B_2C_2\). Dokážte, že body \(I\) a \(J\) sú navzájom rôzne a priamka nimi prechádzajúca je rovnobežná s priamkou \(BC\).
A tak bol v matematike opäť raz mier a poriadok.
Môžeme si všimnúť, že na opísanej kružnici máme celkom dosť (\(5\)) bodov. Zároveň sa veľa priamok z týchto bodov pretína v známych bodoch, teda vyzerá to tak, že sa bude dať použiť Pascalova veta. A keď to ešte z obrázku vyzerá, že \(JA\) sa dotýka kružnice opísanej, tak tušíme, že treba použiť Pascala na bodoch \(A\), \(A\), \(B\), \(B_2\), \(C_2\), \(C\). Z toho dostávame, že priesečníky \(AA\) (teda dotyčnice ku kružnici opísanej v \(A\)) \(\cap\) \(B_2C_2\), \(AB \cap C_2C = C_1\), \(BB_2\cap CA = B_1\) ležia na priamke. Inak povedané, \(B_1C_1\), \(B_2C_2\) a dotyčnica z \(A\) sa pretínajú v jednom bode. To je podľa zadania bod \(J\). Teda \(JA\) sa dotýka kružnice opísanej.
Bod \(J\) leží preto mimo kružnice opísanej, teda aj mimo trojuholníka \(ABC\). Bod \(I\) je stredom vpísanej kružnice trojuholníku, teda zrejme leží vnútri trojuholníka. Preto \(I \neq J\).
Body \(B_2\), \(C_2\) sú postupne Švrčkove body k \(B\) a \(C\) (stredy oblúkov \(AC\) a \(AB\)). Podľa vety o tzv. Incenter-Excenter Circle1 teda \(\lvert B_2I \rvert = \lvert B_2A \rvert\), \(\lvert C_2I \rvert = \lvert C_2A \rvert\). Bod \(J\) preto leží na osi \(AI\), teda \(\lvert JA \rvert = \lvert JI \rvert\).
Nech \(S\) je Švrčkov bod prislúchajúci k \(A\) v \(ABC\). Označme \(J'\) priesečník dotyčnice ku kružnici opísanej v \(S\) a priamky \(AJ\). Potom \(J'S\) je rovnobežné s \(BC\), keďže \(S\) je stred oblúka \(BC\). Zároveň \(\lvert J'A \rvert = \lvert J'S \rvert\), keďže obe úsečky sú dotyčnicami ku kružnici opísanej. Trojuholníky \(AJI\), \(AJ'S\) sú teda oba rovnoramenné s rovnakým uhlom pri vrchole \(A\) (keďže \(S\) leží na osi uhla \(BAC\)). Sú teda podobné. Z toho dostávame rovnobežnosť \(JI\) s \(J'S\), a teda aj s \(BC\), čo bolo treba dokázať.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.