8. Kokosy Môže Strieľať vzorové riešenie

Začnime tým, že si vyjadríme \(x = y^2\) pre nejaké nezáporné číslo \(y\), takže nám stačí určiť, pre ktoré \(a\) je \(y\) celé číslo. Upravme si teda výraz zo zadania ako \[\begin{align} y^2 &= \frac{1}{2} \left(\left(2^a-1\right)^2 + 1\right) \\ &= \frac{1}{2} \left(2^{2a} - 2 \cdot 2^a + 1 + 1\right) \\ &= 2^{2a-1} - 2^a + 1, \\ y^2 - 1 &= 2^a \cdot (2^{a-1} - 1).\end{align}\]

Vyšetrime najprv prípad \(a = 1\). Vtedy sa rovnica zjednoduší na \(y^2 - 1 = 0\), takže pre \(a = 1\) je \(y = 1\) celé číslo.

Pre \(a > 1\) je číslo \(2^{a-1}\) párne, takže \(2^{a-1}-1\) bude nepárne. Všetky dvojky z prvočíselného rozkladu pravej strany sa teda nachádzajú v \(2^a\). Upravme si ešte ľavú stranu na súčin, čím dostaneme \[(y - 1) \cdot (y + 1) = 2^a \cdot (2^{a-1} - 1).\] Našou úlohou teraz bude rozdeliť prvočísla z výrazu napravo medzi zátvorky naľavo. Začneme dvojkami z \(2^a\).

Čísla \(y-1\) a \(y+1\) majú zjavne rovnakú paritu. Ak by boli obe nepárne výraz napravo by bol tiež nepárny, čo neplatí, takže \(y-1\) aj \(y+1\) sú dve párne čísla. Ďalšia vec, na ktorú sa pozrieme je zvyšok po delení \(4\). Ak je \(y-1\) násobok \(4\), tak \(y+1\) dáva zvyšok \(2\) po delení štyrmi. Naopak, ak má \(y-1\) zvyšok \(2\) po delení štyrmi, \(y+1\) je násobok \(4\).

Je teda jasné, že jedno z čísel \(y-1\) a \(y+1\) bude mať v prvočíselnom rozklade práve jednu \(2\), kým to druhé bude obsahovať zvyšných \(a-1\). Zároveň sme však zistili, že aspoň jedno z čísel je deliteľné \(4\), takže aspoň jedno z nich bude mať v rozklade dvojky aspoň dve. Nutne teda \(a-1 \geq 2\), čiže \(a \geq 3\).

Aby sme zistili, ako môžu vyzerať čísla \(y-1\) a \(y+1\), zostáva nám rozdeliť medzi ne ešte prvočísla z rozkladu \((2^{a-1} - 1)\). To je nepárne číslo, takže je deliteľné len nepárnymi prvočíslami, ktoré sú všetky väčšie ako \(2\). My chceme tieto prvočísla prideliť buď k \(2\) alebo k \(2^{a-1}\) tak, aby sme dostali čísla \(y-1\) a \(y+1\), teda dve čísla s rozdielom \(2\). Ako to teda spraviť?

Začnime tým, že všetky prvočísla pridelíme k číslu \(2\). Dostaneme tak čísla \(2^{a-1}\) a \(2^a - 2 = 2(2^{a-1}-1)\). Všimnime si, že pre \(a > 2\) platí \(2^a - 2 > 2^{a-1}\). Aby sme dostali \(y-1\) a \(y+1\), musí nutne platiť \[\begin{align} y + 1 &= 2^a - 2,\\ y - 1 &= 2^{a-1},\\ (y+1) - (y-1) = 2 &= (2^a - 2) - 2^{a-1},\\ 2 &= 2^a - 2^{a-1} - 2,\\ 4 &= 2^a - 2^{a-1},\\ 4 &= 2^{a-1},\end{align}\] odkiaľ už ľahko vidíme, že \(a-1 = 2\) a teda \(a = 3\). V takom prípade je \(y = 2^3-2-1 = 5\) celé číslo.

Druhá možnosť, ako rozdeliť prvočísla je taká, že nejakú časť z nich priradíme k číslu \(2^{a-1}\). Dostaneme tak čísla \(2^{a-1}m\) a \(\frac{2^a-2}{m}\), kde \(m\) je práve súčin všetkých prvočísel, ktoré sme dodali k číslu \(2^{a-1}\). Nás však zaujímajú už len prípady, kedy sme priradili aspoň jedno prvočíslo, a zároveň vieme, že sa jedná o prvočísla väčšie ako \(2\). Platí teda \(m > 2\), takže môžeme odhadnúť \[2^{a-1}m > 2^a > \frac{2^a-2}{m}.\] Náš odhad však vieme ešte spresniť. Keď už vieme, že \(y + 1 = 2^{a-1}m\) (keďže toto je to väčšie číslo), vieme odhadnúť \[y - 1 = 2^{a-1}m - 2 > 2^a - 2 > \frac{2^a-2}{m} = y - 1.\] Je jasné, že \(y-1 > y-1\) nemôže nastať pre nijaké \(y\), takže v tomto prípade hľadané celé číslo \(y\) neexistuje.

Jediné vhodné \(a\) sú teda \(a = 1\) a \(a = 3\).