Zadanie

Medzitým na Zemi (na ktorej nemohol jestvovať život, veď obsahuje také toxické látky ako dihydrogén monoxid a dusík (od slova dusiť!!)) si ľudstvo všimlo, že na Marse sa dejú zvláštne veci. Rozhodli sa teda vyslať na Mars dvoch najschopnejších astronautov v slnečnej sústave: Patricka Matthewsa a Matthewa Patricksa. Tí hneď po prílete k Marsu vytiahli vesmírnu lupu a zamerali ju do poľa, aby ho bližšie preskúmali. Sila slnečných lúčov koncentrovaných lupou však bola na pole priveľa a vypálila v ňom tmavý fľak. To vnuklo astronautovi Matthewsovi senzačný nápad, s ktorým sa hneď musel podeliť.

„Počuj, Matt, čo keby sme niečo do toho poľa nakreslili?“

„A čo také?“ pýtal sa jeho kolega, astronaut Patricks. Matthews stíšil hlas a začal šepkať kolegovi do ucha. Po chvíli sa obaja začali hihňať.

A tak kreslili. Začali obdĺžnikom \(ABCD\) so stranami \(|AB| = 3\) km a \(|BC| = 11\) km. Pokračovali obdĺžnikom \(AECF\) so stranami \(|AF| = 7\) km a \(|FC| = 9\) km. Nakoniec ešte uprostred vypálili sivú plochu ako na obrázku. Určte jej obsah.

image

K tejto úlohe sa dalo pristupovať rozličnými spôsobmi. Najpriamočiarejším bolo označiť si strany kosodĺžnika ako \(x, y\) a vyjadriť si z toho všetky dĺžky v obrázku. Potom vieme z Pytagorovej vety pre malý aj veľký biely trojuholník dostať dve rovnice o dvoch neznámych, z čoho sa už dá cez riešenie kvadratickej rovnice pomerne ľahko dostať k hodnotám \(x, y\) a z nich už nie je problém vypočítať obsah kosodĺžnika.

My si však ukážeme iný postup, ktorý je trochu trikovejší a elegantnejší. Hľadáme obsah sivého kosodĺžnika, označme si ho teda ako našu neznámu \(S\). Ďalej si priesečník \(AE\) a \(BC\) označme ako \(X\). Všimnime si, že \(\triangle ABX\) a \(\triangle CEX\) sú podobné. Vyplýva to z vety \(uu\), pretože uhol pri \(X\) zdieľajú ako vrcholový a \(\sphericalangle ABX, \sphericalangle CEX\) sú oba pravé. Ich koeficient podobnosti je \(|AB|/|CE|=|BX|/|EX|=3/7\). V úlohe však nechceme až tak pracovať s dĺžkami, keďže nás zaujíma obsah, preto by nás zaujímalo, aký je pomer \(S_{\triangle ABX}/S_{\triangle CEX}\). Ten vieme určiť ako \[\begin{align} \frac{S_{\triangle ABX}}{S_{\triangle CEX}} = \frac{\frac12 |AB||BX|}{\frac12 |CE||EX|} = \left(\frac 37\right)^2=\frac{9}{49}.\end{align}\]

Vieme však obsahy trojuholníkov \(ABX\) a \(CEX\) vyjadriť s využitím \(S\)? Áno, pretože plocha, ktorá z niektorého z obdĺžnikov zostane, keď odrátame sivý kosoštvorec, je dvojnásobkom obsahu príslušného trojuholníka. To znamená, že \(S_{\triangle ABX} = \frac12\left(3\cdot 11 - S\right)\) a \(S_{\triangle CEX} = \frac12\left(7\cdot 9 - S\right)\). Keď toto dosadíme do vyššieuvedenej rovnice, dostaneme \[\begin{align} \frac{\frac12\left(3\cdot 11 - S\right)}{\frac12\left(7\cdot 9 - S\right)} &= \frac{9}{49},\\ 49\cdot3\cdot11-49S &= 9\cdot7\cdot9 - 9S,\\ 3\cdot 7\cdot(7\cdot11 - 3\cdot 9) &= 40S,\\ S &= \frac{3\cdot 7\cdot 50}{40}=\frac{105}{4}.\end{align}\] Dostali sme tak hľadaný obsah, ktorý je \(26.25\) KiloMetrov Štvorcových.

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.