Zadanie
Po úspešnom kreslení sa Matthews a Patricks presunuli nad neďalekú púšť, kde učinili najväčší objav celej histórie. Našli mimozemský život. Domorodci sa plahočili po púšti a stavali nejakú monumentálnu stavbu, akiste hrobku pre vládcu ich primitívnej spoločnosti. Astronauti pristáli, aby sa pozreli zbližša. Pri pohľade z povrchu však niečo nebolo v poriadku – takto predsa pyramídy nevyzerajú!
Astronauti Matthews a Patricks sa rozhodli, že domorodcom pomôžu. Vtrhli medzi nich a začali ukazovať, čo majú ako robiť, aby pyramída vyzerala ako pyramída. V prvom rade je nutné mať vhodný parameter pyramídovosti \(p\), ktorý je reálne číslo. Pre súradnice \([x, y, z]\) špičky pyramídy (tri reálne čísla) musí potom platiť \[\begin{align} px + y + z &= 1,\\ x + py + z &= p,\\ x + y + z &= p^2.\end{align}\] Vzhľadom na reálne číslo \(p\) vypočítajte vhodné súradnice \([x, y, z]\).
\[\begin{align} px + y + z & = & 1,\\ x + py + z & = & p,\\ x + y + z & = & p^2.\end{align}\]
Najskôr si musíme uvedomiť, že súradnice \(x, y, z\), ktoré chceme vypočítať, závisia od toho, akú hodnotu bude mať \(p\), preto s ním musíme počítať ako s parametrom a teda na neho nahliadať ako na konštantu a nie ako premennú.
Máme teda 3 rovnice s 3 neznámymi (\(x, y, z\)). Ako prvé si vyjadrime premennú \(z\) z tretej rovnice:
\[z = p^2 - x - y\]
Teraz dosadíme tento výsledok do prvej a druhej rovnice a upravíme ich: \[\begin{align} px + y + z & = & 1 \\ px + y + p^2 - x - y & = & 1 \nonumber \\ p^2 + px - x + y - y & = & 1 \nonumber \\ p^2 + px - x & = & 1 \nonumber \\ x + py + z & = & p \\ x + py + p^2 - x - y & = & p \nonumber \\ p^2 + py - y + x - x & = & p \nonumber \\ p^2 + py - y & = & p \nonumber\end{align}\] Teraz v oboch rovniciach prehoďme \(p^2\) na druhú stranu, dostaneme: \[\begin{align} px - x & = & 1 - p^2\\ py - y & = & p - p^2\end{align}\] Teraz si môžeme všimnúť, že z ľavej strany môžeme v rovniciach vyňať neznámu pred zátvorku (z prvej rovnice \(x\) a z druhej \(y\)): \[\begin{align} x\cdot(p - 1) & = & 1 - p^2\\ y\cdot(p - 1) & = & p - p^2\end{align}\] Následne môžeme obe strany prenásobiť \(-1\) \[\begin{align} -x\cdot(p - 1) & = & p^2 - 1\\ -y\cdot(p - 1) & = & p^2 - p\end{align}\] Na pravej strane prvej rovnice vidíme rozdiel štvorcov, teda ten si vieme upraviť:
\[p^2 - 1 = (p - 1)\cdot(p + 1)\]
Na pravej strane druhej rovnice môžeme vyňať \(p\) pred zátvorku a dostaneme tak:
\[p^2 - p = p\cdot(p - 1)\]
Dostávame teda rovnice: \[\begin{align} -x\cdot(p - 1) & = & (p - 1)\cdot(p + 1)\\ -y\cdot(p - 1) & = & p\cdot(p - 1)\end{align}\] Obe môžeme predeliť výrazom \((p - 1)\), nesmieme, ale na konci prešetriť prípad, kedy je \((p - 1)=0\). Po vydelení dostaneme: \[\begin{align} -x & = & (p + 1)\\ -y & = & p\end{align}\] Už len stačí vynásobiť \(-1\): \[\begin{align} x & = & -p - 1\\ y & = & -p\end{align}\] Keď sme si dopočítali hodnoty premenných \(x\) a \(y\) vzhľadom na \(p\), tak teraz už len treba dopočítať premennú \(z\):
\[z = p^2 - x - y\] \[z = p^2 - (-p - 1) - (-p)\] \[z = p^2 + p + 1 + p\] \[z = p^2 + 2p + 1\] \[z = (p + 1)^2\]
Teraz sme dostali výsledné súradnice \([-p - 1, -p, (p + 1)^2]\), keď \(p\neq1\). Čo ak sa ale \(p=1\)? Dosaďme do pôvodných 3 rovníc:
\[\begin{align} px + y + z & = & 1,\\ x + y + z & = & 1,\nonumber \\ x + py + z & = & p,\\ x + y + z & = & 1,\nonumber \\ x + y + z & = & p^2.\\ x + y + z & = & 1,\nonumber\end{align}\] Dostali sme 3-krát tú istú rovnicu \(x + y + z = 1\). Táto rovnica má nekonečne veľa riešení, takže výsledok môžeme zapísať ako \([a, b, 1-a-b],\) kde \(a,b\) sú reálne čísla.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.