Zadanie
V priebehu niekoľkých dní vypukol na Marse ošiaľ. Obyvatelia sa neustále dožadovali autorít, aby prešetrili údajný výskyt mimomarťanských bytostí, ktoré narúšajú výstavbu obchodných centier, vandalizujú polia neslušnými symbolmi a kradnú dobytok. Nadnárodný Inštitút Vesmírnych Aktivít Mimomarťanských bral túto hrozbu vážne, a tak vytvoril zásahový tím zvaný Marťania v modrom.
Jedným z novovyškolených agentov bol aj agent \(\check F\).1 Ten sa preukázal ako mimoriadne platný agent v skúške z „Hľadania mimomarťanskej aktivity“, keď ako jediný dokázal nájsť všetky trojice celých čísel \((a, b, c)\) také, že \[(ac-b)^2+(bc-a)^2=c.\] Nájdite ich aj vy.
Čítaj \(\check f\).↩︎
Ako prvé si všimnime, že \(c\) je súčet dvoch druhých mocnín celých čísel (štvorcov), a teda \(c \geq 0\).
Rovnicu roznásobením a vyňatím členov iným spôsobom vieme previesť do tvaru, kde na jednej strane máme iba premenné \(a\), \(b\) a na druhej strane iba \(c\): \[\begin{align} a^2c^2 - 2abc + b^2 + b^2c^2 - 2abc + a^2 &= c,\\ a^2c^2 + b^2 + b^2c^2 + a^2 &= c + 4abc,\\ (c^2 + 1)(a^2+b^2) &= c(1+4ab), \\ \frac{a^2+b^2}{1+4ab} &= \frac{c}{c^2 + 1}.\end{align}\]
Skúsené oko si všimne, že ľavá strana má menovateľa obvykle väčšieho ako čitateľa. Poďme zistiť, kedy presne. Vyjdeme klasicky z nezápornosti štvorca rozdielu: \[\begin{align} (a-b)^2 &\geq 0,\\ a^2 + b^2 - 2ab&\geq 0,\\ a^2+b^2 &\geq 2ab.\end{align}\] Ak navyše \(a^2+b^2 > 0\), tak menovateľ vieme prebiť trikrát čitateľom: \[3(a^2+b^2) \geq 1 + 2ab + 2ab = 4ab + 1.\] Ak \(a^2+b^2 = 0\), tak nutne \(a=b=0\). Po dosadení máme \(c=0\) a získavame prvé riešenie \((0, 0, 0)\). Záporná táto hodnota (ako súčet štvorcov) byť nemôže.
V opačnom prípade platí uvedená nerovnosť, teda \[\frac{a^2+b^2}{1+4ab} \geq \frac{1}{3}.\] Tým pádom aj pravá strana našej upravenej rovnice je aspoň \(\frac{1}{3}\), čiže \[\begin{align} \frac{c}{c^2 + 1} &\geq \frac{1}{3}, \\ 3c &\geq c^2 + 1,\\ 0 &\geq c^2 - 3c + 1.\end{align}\] Násobiť \(c^2+1\) môžeme, keďže táto hodnota je aspoň \(1\). Dostali sme kvadratickú nerovnosť s kladným koeficientom pri \(c^2\). Korene pravej strany sú \(\frac{3\pm\sqrt{9-4}}{2}\), čo sú čísla v intervale \((0,1)\), resp. \((2, 3)\). Hodnota bude záporná medzi nimi, teda prípustné celočíselné hodnoty \(c\) sú \(1\) a \(2\).
Ak \(c=1\), máme \[(a-b)^2+(b-a)^2 = 1,\] čo nemôže nastať, pretože ľavá strana je \(2(a-b)^2\), čiže párna.
Ak \(c=2\), máme \[(2a-b)^2+(2b-a)^2=2.\] Číslo \(2\) vieme ako súčet štvorcov vyjadriť len ako \(1+1\). Tu nesmieme zabudnúť na to, že \(1\) ako štvorec vieme získať nie len umocnením \(1\) na druhú, ale aj \(-1\). Teda musí platiť \(2a-b = 2b-a \in \{1, -1\}\).
Máme niekoľko možností: \[\begin{align} 2a-b &= 1 & 2a-b&=-1 & 2a-b&=1\\ 2b-a &= 1 & 2b-a&=-1 & 2b-a&=-1\\ \intertext{\centerline{\rule{15cm}{0.5pt}}} 4b-b &= 2+1 & 4b-b&=-2-1 & 4b-b&= -2+1\\ 3b &= 3 & 3b&=-3 & 3b&= -1\\ b&=1 & b&=-1 & & \\ a&=1 & a&=-1 & &\end{align}\] V každej možnosti (stĺpci) sme si napísali sústavu rovníc a potom sme pričítali dvojnásobok druhej rovnice k prvej, aby sme vylúčili premennú \(a\). V tretej možnosti nevychádza \(b\) celočíselne a posledná štvrtá možnosť (s výmenou \(1\) a \(-1\)) je symetrická s treťou, čiže tiež nemá riešenie.
Dokopy máme teda tri riešenia: \((0, 0, 0), (1, 1, 2), (-1, -1, 2)\).
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.