Zadanie
Sedíš za počítačom a pozeráš si nové zadania KMS, keď sa zrazu ozve klopanie na dvere. Otvoríš a za nimi je postava v modrom. Má zvláštnu sivo-zelenkavú pokožku, na tvári mesačné okuliare1 a na tele oblek, ktorému zhruba uprostred brucha začína tretí rukáv. Akoby ho kreslila umelá inteligencia. Postava niečo nezrozumiteľne povie a pred očami sa ti zjaví gumený štupeľ do uší. Zrazu ťa jedna ruka chytí zospodu za bradu, ďalšia zvrchu za temeno, chceš sa vytrhnúť, ale nejde to. Cítiš, ako sa ti niečo tlačí do ľavého ucha...
…a viac nevieš o ničom, len o lichobežníku \(ABCD\) so základňami \(BC\) a \(AD\), pričom \(AD\) je tá dlhšia z nich. Na uhlopriečke \(AC\) má vyznačený bod \(P\), na uhlopriečke \(BD\) bod \(Q\). Vidíš, že priamka \(AC\) je osou \(\sphericalangle BPD\) a priamka \(BD\) osou \(\sphericalangle AQC\). Dokáž, že \(\sphericalangle BPD\) a \(\sphericalangle AQC\) majú rovnakú veľkosť.
Vyzerajú ako slnečné, avšak v skutočnosti neznižujú, ale zvyšujú množstvo svetla, ktoré nimi prechádza.↩︎
Označme \(X\) priesečník uhlopriečok \(BD\) a \(AC\). Ako prvé si uvedomme, že \(|\sphericalangle BPD| = |\sphericalangle AQC|\) platí práve vtedy, keď sa zhodujú ich polovice. Ak by sa nám teda podarilo dokázať napríklad \(|\sphericalangle BPC| = |\sphericalangle BQC|\)1, mali by sme úspešne vyriešenú úlohu. Keďže body \(P\) a \(Q\) ležia vnútri lichobežníka \(ABCD\), je táto podmienka ekvivalentná s tým, že body \(B,C,P,Q\) ležia na kružnici (veta o obvodových uhloch). My skúsime dokázať práve toto tvrdenie.
Bez ujmy na všeobecnosti predpokladajme, že \(|\sphericalangle ACB| \geq |\sphericalangle DBC|\). Označme \(R\) priesečník kružnice opísanej trojuholníku \(BPC\) a priamky \(BD\) rôzny od \(B\). Uvedomme si, že \(R\) leží dokonca vnútri úsečky \(BD\). Ak by neležal, úsečka \(PR\) by preťala \(BC\) a z obvodových uhlov by sme ľahko dopočítali, že \(|\sphericalangle ACB| < |\sphericalangle DBC|\), čo je v rozpore s našim predpokladom.
Tým pádom máme vďaka obvodovým uhlom \(|\sphericalangle BPC| = |\sphericalangle BRC|\). Teraz rozlíšime dva prípady, podľa toho, kde na úsečke \(AC\) sa bod \(P\) nachádza. Prípad \(P = X\) si odložíme na neskôr. Ak \(P\) leží vnútri úsečky \(CX\), platí \[|\sphericalangle DRP| = 180^\circ - |\sphericalangle BRP| = |\sphericalangle BCP| = |\sphericalangle PAD|,\] kde prvá rovnosť platí pre susedné uhly, druhú máme vďaka tomu, že \(BCPR\) je tetivový štvoruholník a posledná platí pre striedavé uhly, nakoľko \(BC\) a \(AD\) sú rovnobežné. Keďže \(P\) leží na úsečke \(CX\), body \(A\) a \(R\) ležia v rovnakej polrovine danej priamkou \(DP\). Podľa vety o obvodových uhloch tak z rovnosti \(|\sphericalangle DRP| = |\sphericalangle PAD|\) dostaneme, že body \(A, D, P\) a \(R\) ležia na kružnici.
Druhým prípadom je, že \(P\) leží vnútri úsečky \(AX\). Potom platí \[180^\circ - |\sphericalangle PRD| = |\sphericalangle PRB| = |\sphericalangle PCB| = |\sphericalangle PAD|,\] kde prvá rovnosť platí pre susedné uhly, druhá vďaka obvodovým uhlom, a posledná pre striedavé uhly. Keďže \(P\) leží vnútri úsečky \(AX\), body \(R\) a \(A\) ležia v opačných polrovinách daných priamkou \(PD\). Vďaka \(|\sphericalangle PAD| = 180^\circ - |\sphericalangle PRD|\) je štvoruholník \(PADR\) tetivový.
V oboch prípadoch sme zistili, že body \(A, D, P, R\) ležia na kružnici. Zároveň v oboch prípadoch máme vďaka obvodovým uhlom \(|\sphericalangle APD| = |\sphericalangle ARD|\). Potom však platí aj \[|\sphericalangle DPC| = 180^\circ - |\sphericalangle APD| = 180^\circ - |\sphericalangle ARD| = |\sphericalangle ARB|.\] Spomeňme si teraz na to, že body \(B, C, R, P\) ležia na kružnici. Keďže aj \(P\) aj \(R\) ležia vnútri lichobežníka, pre ich obvodové uhly platí \(|\sphericalangle BRC| = |\sphericalangle BPC|\), čiže \[|\sphericalangle BRC| = |\sphericalangle BPC| = |\sphericalangle DPC| = |\sphericalangle ARB|.\] Druhá rovnosť plynie z toho, že \(AC\) je osou uhla \(\sphericalangle BPD\), tretiu rovnosť sme práve odvodili. Potom však platí, že \(BD\) je osou uhla \(\sphericalangle ARC\).
Platí teda, že \(R = Q\)? Zostáva nám overiť, či sa nemôže stať, že pre dva rôzne body \(R\) a \(Q\) bude \(BD\) osou uhlov \(\sphericalangle ARC\) aj \(\sphericalangle AQC\). Ak by takýto prípad nastal, trojuholníky \(AQR\) a \(CQR\) majú spoločnú stranu \(QR\) a rovnaké uhly pri nej. Sú teda zhodné podľa vety \(usu\). To znamená, že \(|AQ| = |CQ|\) a \(|AR| = |CR|\), takže priamka \(QR\) je osou úsečky \(AC\). Keďže aj \(B\) a \(D\) ležia na \(QR\), nutne \(|DA| = |DC|\) a \(|BA| = |BC|\). Útvar \(ABCD\) je teda deltoid, ktorý má rovnobežné strany, len ak sú všetky rovnako dlhé. Tým pádom \(|DA| = |BC|\), čo je sporom so zadaním, kde predpokladáme \(|DA| > |BC|\).
Skutočne teda \(R = Q\) a uhly \(\sphericalangle BPD\) a \(\sphericalangle AQC\) majú rovnakú veľkosť.
Nakoniec prejdime ešte prípad, kedy \(P = X\). V takom prípad \(|\sphericalangle BPD| = 180^\circ\). Potom je nutne \(AC\) kolmá na \(BD\), aby mohla byť osou tohto uhla. Ak \(Q = X\), máme hotovo a zjavne \(|\sphericalangle BPD| = |\sphericalangle AQC|\). Ak nie, tak na priamke máme dva rôzne body \(Q \neq X\), pre ktoré je \(BD\) osou uhla \(\sphericalangle AQC\), resp. \(\sphericalangle AXC\), čo, ako vidíme z predošlého odstavca, nevyhovuje zadaniu.
Toto neplatí napríklad ak \(P\) leží na úsečke \(XC\) a \(Q\) na \(XD\). Z riešenia však zistíme, že tento prípad pre naše \(P\) a \(Q\) nenastane, t. j. vždy dostaneme \(|\sphericalangle BPC| = |\sphericalangle BQC|\).↩︎
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.