10. Kynoženie Mestských Snejkov

V hlavnom meste kolónie dokončujú námestie. Plochu \((2^{n} + 1)\times(2^{n}+1)\) chcú vydláždiť bielymi a čiernymi dlaždicami rozmeru \(1 \times 1\). Dláždiť musia tak, aby z čiernych dlaždíc nevznikol uzavretý hadík. V závislosti od kladného celého čísla \(n\) určte, koľko najviac čiernych dlaždíc môžu použiť?

Poznámka. Uzavretý hadík je postupnosť \(k \ge 4\) rôznych čiernych dlaždíc \(a_1,\, a_2,\, \dots,\, a_k\) takých, že dlaždice \(a_{i}\) a \(a_{i+1}\) pre \(i \in \{1,2,\dots,k-1\}\) a taktiež dlaždice \(a_k\) a \(a_1\) majú spoločnú hranu.