10. Krajiny Moje Svadobno-cestové

Veronika a Cd sa chystajú na svadobnú cestu do Afriky. Veronika si vyberá z krajín \(K_3,\, K_4,\, K_5,\dots\). Pre celé číslo \(n \ge 3\), sa v krajine \(K_n\) nachádza \(2n\) miest \(A_1,\ A_2,\ \dots,\ A_n,\ B_1,\ B_2,\ \dots,\ B_n\). Nasledovné dvojice miest (a žiadne iné) sú spojené priamou obojsmernou leteckou linkou:

• mesto \(A_i\) s mestom \(B_i\) pre každé celé \(i\) (\(1 \le i \le n\));

• mesto \(A_i\) je spojené s mestom \(A_j\) práve vtedy, keď \(n \mid i - j + 1\) alebo \(n \mid i - j - 1\);

• mesto \(B_i\) je spojené s mestom \(B_j\) práve vtedy, keď \(n \mid i - j + 2\) alebo \(n \mid i - j - 2\).

Veronika chce ísť len do krajiny, kde je možné spraviť okružnú cestu, na ktorej navštívi každé mesto práve raz (a vráti sa do mesta, kde začala). Medzi mestami sa možno presúvať len leteckými linkami. Nájdite všetky celé čísla \(n \ge 3\) také, že Veronika chce ísť do krajiny \(K_n\).

Príklad. Pre \(n = 5\) sú letecké linky práve medzi týmito dvojicami miest:

• \(\{A_1, B_1\}\), \(\{A_2, B_2\}\), \(\{A_3, B_3\}\), \(\{A_4, B_4\}\), \(\{A_5, B_5\}\);

• \(\{A_1, A_2\}\), \(\{A_2, A_3\}\), \(\{A_3, A_4\}\), \(\{A_4, A_5\}\), \(\{A_5, A_1\}\);

• \(\{B_1, B_3\}\), \(\{B_2, B_4\}\), \(\{B_3, B_5\}\), \(\{B_4, B_1\}\), \(\{B_5, B_2\}\).