7. Kompletne Márny Sizyfos

Po vystátí radu sa začalo divadelné predstavenie o Syzifovi. Bohovia udelili Syzifovi za trest tlačenie kameňa do kopca. V nultý deň vytlačil Syzifos kameň do nejakej výšky, no na konci dňa sa mu skotúľal o kus nadol. V prvý deň znovu vytlačil kameň do nejakej výšky a večer sa mu opäť skotúľal. Takto Syzifos pokračoval do nekonečna…

Máme danú nekonečnú postupnosť \(a_0,\,a_1,\,a_2,\, \dots\) reálnych čísel takú, že pre každé kladné celé číslo \(n\) platí \((a_{n-1}+a_{n+1})/2\geq a_n\). Dokážte, že pre všetky kladné celé čísla \(n\) platí \[\frac{a_0+a_{n+1}}{2}\geq \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}.\]