Koniec kola: 3. október 2022 23:59
6 dní
Počet bodov:
Popis:  9b

Keď sa po prehliadke Bordu Slováci vrátili na internát, rozhodli sa, že si zahrajú spoločenské hry. Vyšli teda na chodbu a sadli si na kružnicu okolo stola. Potom si však všimli, že okolo stola na druhom konci chodby tiež na kružnici sedí nejaká skupinka. Rozhodli sa teda riadiť slovami klasika „Čím viac, team viac“ a kružnice spojili. Majo si všimol, že nech na kružnici sedel kdekoľvek, vždy bolo ich skóre priemerné. Nešlo mu však do hlavy, prečo je to tak.

Kružnice \(k,\, l\) sa pretínajú v bodoch \(P \neq Q\). Na kružnici \(k\) si zvoľme bod \(M\). Priamky \(MP,\, MQ\) pretínajú kružnicu \(l\) postupne v bodoch \(B,\, C\) rôznych od \(P,\, Q\). Označme \(X\) priesečník priamok \(BQ\) a \(CP\). Dokážte, že to, či \(X\) leží na kružnici \(k\), nezávisí od voľby bodu \(M\) (tzn. je to dané iba polohou kružníc \(k,\ l\)). V prípade, že \(X\) leží na kružnici \(k\), dokážte navyše, že \(BC\) je priemerom \(l\).

Odovzdávanie

Na odovzdávanie sa musíš prihlásiť

Otázky a diskusia

Po skončení kola budete mať príležitosť na diskutovanie o riešeniach v diskusii pod vzorovým riešením.