9. Konferencia Mierová Súdi

„Ticho, ticho v súdnej sieni. Vážení zástupcovia Al-Gebry, Kombistanu, Matematickej ľudovo-demokratickej Analýzy a moji krajania z kráľovstva Teórie Čísel. Krajina Geometrie na čele s hlavnou správkyňou Pytou Gorovou sa dopustila zločinu proti matematike. Podľa paragrafu \(\pi\) zákona o spolunažívaní matematických štruktúr a pozmeňujúcich návrhov schválených počas Zermelových reforiem, ďalej podľa zákona …“

V kruhu okolo stola sedí \(n \geq 2\) veľvyslancov. Tí na začiatku nespia, ale každý sa pozerá na nejakého jedného iného veľvyslanca. Občas sa nejaký (naraz najviac \(1\)) veľvyslanec, ktorý nespí, postaví, vyhlási „Mňa už to nebaví!“ a odíde. Všetci veľvyslanci, ktorí sa na neho pozerali, následne zavrú oči a zaspia. Tento proces sa opakuje, kým všetci veľvyslanci buď neodišli, alebo nezaspali. Veľvyslanec, ktorý na konci spí, sa nazýva unudený.

1. V závislosti od \(n\) určte najväčšie \(k\) také, že bez ohľadu na to, na koho sa pozerajú jednotliví veľvyslanci, existuje postupnosť odchádzania veľvyslancov taká, že na konci bude unudených aspoň \(k\) z nich.

2. V závislosti od \(n\) určte najmenšie \(l\) také, že bez ohľadu na to, na koho sa pozerajú jednotliví veľvyslanci, existuje postupnosť odchádzania veľvyslancov taká, že na konci bude unudených najviac \(l\) z nich.

3. Dokážte, že pre každé konkrétne rozostavenie veľvyslancov (kde zohľadňujeme, na koho sa pozerajú) je najväčší a najmenší možný počet unudených veľvyslancov dokopy najviac \(n\).