10. Kedy Máme Svadbu?

Ďuro Truľo sa vracal domov naplnený pýchou a hrdosťou. Práve vykonal dobrý skutok! A na dôvažok neodchádzal naprázdno, domov kráčal ruka v ruke (presne, ako mu to mama nakreslila) s Lízinkou, ktorú zachránil zo studne. Nechcel, aby sa jeho milá zaňho hanbila, ani aby mu ušla ako minule.

Osud zadal celé číslo \(k\geq 2\). Nájdite všetky funkcie \(f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}\) vedúce k láske. Na to, aby funkcia viedla k láske, musí spĺňať, že \(f(x_1)! + f(x_2)! + \cdots + f(x_k)!\) je deliteľné \(x_1! + x_2! + \cdots + x_k!\) pre všetky \(k\)-tice prirodzených čísel \((x_1, x_2, \ldots, x_k)\). Tak im držme palce.