Konštrukčné úlohy

Konštrukčné úlohy tvoria skupinu úloh, kde máme dané nejaké geometrické útvary (napr. trojuholník) a našou úlohou je narysovať nejaké ďalšie útvary (napr. stred vpísanej kružnice). Konštrukčné úlohy sa riadia jasnými pravidlami, ktoré vymedzujú, čo v nich možno robiť a čo nie. Tieto pravidlá poznali už starovekí Gréci. Pri konštrukčných úlohách používame dva nástroje:

• Euklidovské pravítko -- má len jednu stranu, ktorá je nekonečne dlhá a bez stupnice. Ak máme vyznačené dva body, vieme pomocou neho zostrojiť priamku, ktorá nimi prechádza. Priamo nevie rysovať kolmice, rovnobežky, ani merať vzdialenosti.
• Kružidlo -- ak máme dané body $A$, $B$, vieme ho zabodnúť do bodu $A$ a urobiť kružnicu s polomerom $|AB|$. Kružidlo sa zavrie, keď vytiahneme ihlu. Priamo sa teda nedá použiť na prenášanie vzdialeností ani na rysovanie viacerých kružníc s rovnakým polomerom.

Okrem nich máme ešte ceruzku, ktorou môžeme vyznačovať body: body niekde v rovine, na priamke, na kružnice či na priesečníkoch útvarov.

Prečo takéto veľké obmedzenia? Aby bol opis pravidiel čo najjednoduchší.

V skutočnosti to pre nás vôbec nie sú obmedzenia. Všetko potrebné totiž vieme pomocou nich urobiť: preniesť vzdialenosť, kolmicu, rovnobežku, os úsečky, os uhla, rozdeliť úsečku v danom pomere a iné. Mnohé z týchto konštrukcií ste sa zrejme učili aj v škole. Pokiaľ si sa s nimi ešte nestretol/la, zamysli sa nad tým, ako ich dosiahnuť. Nie je to nič zložité a je to pre teba dobrý tréning.

Pri opisovaní postupu konštrukcie v úlohách KMS môžeš využiť známe jednoduché konštrukcie. Je v poriadku do riešenia napísať: „Urobíme kolmicu z bodu $X$ na priamku $p$.“ Keď používaš nejaké zložitejšie konštrukcie (ktoré nie sú až tak známe), rozpíš, ako ich vieš dosiahnuť pomocou známych konštrukcií. Samozrejme, namiesto rozpisovania niektorých konštrukcií sa môžeš odvolať na literatúru, čo príde vhod hlavne v náročnejších úlohách.

Aby bolo jasné, že dodržuješ pravidlá konštrukcie, je dobré k tomu pripísať (napr. na začiatok): „Je známe, že pomocou pravítka a kružidla vieme rysovať kolmice.“ Mimochodom, písanie takýchto viet je dobrým zvykom v riešeniach. Takto jasne ukážeš, že fakty, ktoré používaš pokladáš za zrejmé a nie, že si si to práve vymyslel.

V niektorých úlohách sa môžeš stretnúť s tým, že nemôžeš použiť oba nástroje (napr. rysovať môžeš len pomocou pravítka). Vtedy už nie je jasné, čo vieme narysovať. Preto si musíš dobre rozmyslieť, čo možno narysovať a každý postup detailne rozpísať.