[email protected]

Na obrázku môžeme vidieť situáciu zo zadania – pravouhlý trojuholník a v ňom vpísaný štvorec s jednou stranou ležiacou na prepone $AB$.

Ako prvé si môžeme všimnúť rovnobežnosť úsečiek $AB$ a $FE$, ktorá vyplýva z rovnobežnosti protiľahlých strán v štvorci. Táto rovnobežnosť je veľmi podstatná, lebo obsahuje kľúč k riešeniu našej úlohy. Hovorí nám totiž o podobnosti dvoch trojuholníkov – podobnosti trojuholníka $ABC$ s trojuholníkom $FEC$. Tieto dva trojuholníky sú podobné kvôli zhodnosti zodpovedajúcich si uhlov. Uhol $ACB$ ($FCE$) majú spoločný. Uhol $CFE$ v trojuholníku $FEC$ má zhodnú veľkosť ako uhol $CAB$ v trojuholníku $ABC$, lebo ich ramená $FC$ a $AC$ ležia na jednej priamke a ich ramená $FE$ a $AB$ sú rovnobežné, a preto tieto dva uhly sú súhlasné a majú rovnakú veľkosť. Podobnú úvahu vieme spraviť aj pre dvojicu uhlov $CEF$ a $CBA$. Ich ramená $EC$ a $BC$ ležia na jednej priamke a ich ramená $EF$ a $BA$ sú rovnobežné, takže sa opäť jedná o súhlasné uhly, vďaka čomu uhly $CEF$ a $CBA$ majú zhodnú veľkosť. Dostávame tak zhodnosť v troch zodpovedajúcich si dvojiciach uhlov, a teda tieto dva trojuholníky sú podobné ¹.

Vieme teda, že trojuholníky $ABC$ a $FEC$ sú podobné. To nám dáva nástroj na výpočet dĺžky prepony $AB$. Kvôli podobnosti trojuholníkov sú totiž pomery medzi dĺžkami zodpovedajúcich si strán rovnako veľké. Takže nám stačí zistiť dĺžku strany $FE$ v trojuholníku $FEC$ a dĺžky výšok v obidvoch trojuholníkoch.

Trojuholník $FEC$ je pravouhlý, a preto vieme využiť Pytagorovu vetu na výpočet dĺžky jeho prepony $FE$. $$\begin{aligned} |FE|^2&=|CF|^2+|CE|^2\text,\\ &=48^2+36^2\text,\\ &=12^2\cdot(4^2+3^2)\text,\\ &=12^2\cdot5^2\text,\\ |FE|&=60\text.\end{aligned}$$

Obsah pravouhlých trojuholníkov vieme vypočítať viacerými spôsobmi. Keď takto vypočítame obsah dvomi spôsobmi, tak musíme dostať rovnaký výsledok. Preto $$\begin{aligned} \frac{|FE|\cdot x}{2}&=\frac{|CF|\cdot|CE|}{2}\text,\\ x&=\frac{|CF|\cdot|CE|}{|FE|}\text,\\ x&=\frac{48\cdot36}{60}\text,\\ x&=\frac{144}{5}\text.\end{aligned}$$

Teraz vieme dopočítať aj výšku v trojuholníku $ABC$, ktorá je zjavne o $60$ dlhšia ako výška v trojuholníku $FEC$, lebo $|PR|$ je rovnaká ako dĺžka strany vpísaného štvorca, čo je $|FE|$. Tým pádom už vieme určiť dĺžku prepony $AB$. $$\begin{aligned} \frac{|AB|}{|FE|}&=\frac{|CR|}{|CP|}\text,\\ |AB|&=\frac{|CR|\cdot|FE|}{|CP|}\text,\\ |AB|&=\frac{(\frac{144}{5}+60)\cdot60}{\frac{144}{5}}\text,\\ |AB|&=185\text.\end{aligned}$$