Opravovatelia

Maťa [email protected]

Michal S. [email protected]

Pri prvom pohľade na úlohu vidíme, že ide o kombinatoriku. Potrebujeme len vhodne spočítať všetky možnosti.

Keďže je úloha symetrická, môžeme uvažovať, že prvý záchranca dostal to, čo chcel. Na konci musíme počet možností prenásobiť $9$, aby sme započítali možnosti, kde uspokojený záchranca je iný. Označme záchrancov $z_1$ až $z_9$ tak, že prví traja ($z_1 - z_3$) chceli rieku, $z_4 - z_6$ lúku a $z_7 - z_9$ horu. Povedzme, že prvý dostal rieku, ako chcel, potom ostatní dostali jeden z dvoch typov územia, ktoré nechceli. Označme si rieku ako $r$, lúku ako $l$ a horu ako $h$. Možnosti, čo mohli jednotliví záchrancovia dostať, môžeme poznačiť do nasledovnej tabuľky:

Záchrancovia $2 - 3$ mohli dostať: lúku a lúku, horu a horu alebo lúku a horu (v nejakom poradí).

V prípade, že dostali lúku a lúku, záchrancovia $4 - 6$ dostali $3$ hory (pretože nikto iný už hory získať nemohol), záchrancovia $7 - 9$ dostali $2$ rieky a $1$ lúku, ktoré mohli dostať $3$ spôsobmi, podľa toho kto dostal lúku. Tieto možnosti vyzerajú teda nasledovne:

V prípade, že dostali horu a horu, záchrancovia $7 - 9$ dostali $3$ lúky (podobne ako vyššie), záchrancovia $4 - 6$ dostali $2$ rieky a $1$ horu, ktoré mohli dostať znovu $3$ spôsobmi (rovnako ako vyššie).

V prípade, že dostali lúku a horu, ostali $2$ rieky, $2$ lúky a $2$ hory. Lúku a horu mohli záchrancovia $2 - 3$ dostať dvoma spôsobmi. Všetky zvyšné hory dostali záchrancovia $4 - 6$, pripadla im aj jedna rieka. Záchrancovia $7 - 9$ dostali $2$ lúky a $1$ rieku. Záchrancovia $4 - 6$ mohli dostať časti kráľovstva tromi spôsobmi, tak ako aj záchrancovia $7 - 9$. Tieto možnosti sa dajú ľubovoľne kombinovať, čím získame $2\cdot 3\cdot 3 = 18$ spôsobov.

Sčítaním počtov možností z jednotlivých prípadov dostaneme $3+3+18 = 24$ a na záver prenásobíme $9$, aby sme zahrnuli možnosti, kde je uspokojený iný záchranca: $24\cdot 9 = 216$, čo je celkový počet možností.