5. úloha vzorové riešenie

Pozrime sa najprv na časť a). Chceme nájsť bod \(C\) tak, aby trojuholník \(ABC\) mal čo najväčší obsah. Obsah trojuholníka vieme vypočítať ako \(\frac{1}{2} \cdot c \cdot v_c\) a keďže naša strana \(c\) trojuholníka \(ABC\) je úsečka \(AB\) (ktorá má fixnú dĺžku), tak nám stačí maximalizovať výšku na túto stranu. Množina bodov, ktoré sú rovnako vzdialené od priamky \(AB\) je rovnobežka s touto priamkou. To znamená, že všetky trojuholníky so stranou \(AB\) a bodom \(C\) na tejto rovnobežke majú rovnaký obsah. Ktorá rovnobežka je od \(AB\) najďalej a súčasne má aspoň jeden spoločný bod s kružnicou, na ktorej je \(AB\)? Je zrejmé, že takáto rovnobežka musí byť dotyčnica. Čo je zač ten dotykový bod? Musí to byť priesečník kružnice a osi strany \(AB\). Tak najväčší obsah sme našli.

Ok, to bolo ľahké, tak sa poďme pozrieť na časť b). Je jasné, že bod \(C\) má zmysel hľadať len v dlhšom z oblúkov, na ktoré je kružnica rozdelená úsečkou \(AB\). Ak náhodou ti to nie je zjavné, tak si to dokáž. To je také jednoduché cvičenie. Zvoľme si v tomto oblúku ľubovoľný bod \(C'\). Presečník osi úsečky \(AB\) a kružnice (víťaza časti a)) si označme \(N\). Spojme si body \(C'\) a \(N\) priamkou.

Dokážeme, že uhly \(AC'X\) a \(BC'N\) sú zhodné. Zadefinujeme si bod \(\check{S}\), bude to stred kratšieho oblúka \(AB\). Ak je \(|\sphericalangle AC'B|=\gamma\), tak \(|\sphericalangle A\check{S}B|=180^\circ-\gamma\). Trojuholník \(A\check{S}B\) je rovnoramenný, a teda \(|\sphericalangle \check{S}AB|=|\sphericalangle \check{S}BA| = \frac12{\gamma}\). Uhly \(\check{S}AB\) a \(\check{S}C'B\) sú obvodové uhly prislúchajúce k oblúku \(\check{S}B\), teda sú zhodné. Keďže \(|\sphericalangle \check{S}C'B|=\frac12{\gamma}\), tak priamka \(C'\check{S}\) je os uhla \(AC'B\). Úsečka \(\check{S}N\) je priemer, z čoho vyplýva, že \(|\sphericalangle \check{S}C'N|=90^\circ\). Vieme dopočítať, že \(|\sphericalangle BC'N|= {90^\circ} - \frac12{\gamma}\) a \(|\sphericalangle AC'X|= {90^\circ} - \frac12{\gamma}\) takisto. Dokázali sme, čo sme chceli a síce, že uhly \(AC'X\) a \(BC'N\) sú zhodné.

Teraz nájdeme bod \(B'\), tak že body \(B\) a \(B'\) budú osovo súmerné podľa priamky \(C'N\). Aká je najkratšia vzdialenosť medzi bodmi \(A\) a \(B'\)? Jednoducho ich spojíme priamkou. Vieme, že táto priamka prechádza bodom \(C'\), pretože uhly \(AC'X\) a \(NC'B'\) sú zhodné (sú vrcholové) a takisto uhly \(BC'N\) a \(NC'B'\) sú zhodné Úsečka \(C'B'\) je rovnako dlhá ako \(C'B\) (tieto dve úsečky sú osovo súmerné podľa priamky \(C'N\)). Najkratšia vzdialenosť z bodu \(A\) na priamku a odtiaľ do bodu \(B\) vedie práve cez bod \(C'\). Cesta, ktorá vedie cez bod \(N\) je od nej určite dlhšia, a teda trojuholník \(ABN\) má väčší obvod ako trojuholník \(ABC'\). Toto ale platí pre akýkoľvek bod \(C'\), preto môžeme povedať, že trojuholník s najväčším obvodom je trojuholník \(ABN\). Bod \(N\) je teda náš hľadaný bod \(C\).