5. úloha vzorové riešenie

Pozrime sa najprv na časť a). Chceme nájsť bod $C$ tak, aby trojuholník $ABC$ mal čo najväčší obsah. Obsah trojuholníka vieme vypočítať ako $\frac{1}{2} \cdot c \cdot v_c$ a keďže naša strana $c$ trojuholníka $ABC$ je úsečka $AB$ (ktorá má fixnú dĺžku), tak nám stačí maximalizovať výšku na túto stranu. Množina bodov, ktoré sú rovnako vzdialené od priamky $AB$ je rovnobežka s touto priamkou. To znamená, že všetky trojuholníky so stranou $AB$ a bodom $C$ na tejto rovnobežke majú rovnaký obsah. Ktorá rovnobežka je od $AB$ najďalej a súčasne má aspoň jeden spoločný bod s kružnicou, na ktorej je $AB$? Je zrejmé, že takáto rovnobežka musí byť dotyčnica. Čo je zač ten dotykový bod? Musí to byť priesečník kružnice a osi strany $AB$. Tak najväčší obsah sme našli.

Ok, to bolo ľahké, tak sa poďme pozrieť na časť b). Je jasné, že bod $C$ má zmysel hľadať len v dlhšom z oblúkov, na ktoré je kružnica rozdelená úsečkou $AB$. Ak náhodou ti to nie je zjavné, tak si to dokáž. To je také jednoduché cvičenie. Zvoľme si v tomto oblúku ľubovoľný bod $C'$. Presečník osi úsečky $AB$ a kružnice (víťaza časti a)) si označme $N$. Spojme si body $C'$ a $N$ priamkou.

Dokážeme, že uhly $AC'X$ a $BC'N$ sú zhodné. Zadefinujeme si bod $\check{S}$, bude to stred kratšieho oblúka $AB$. Ak je $|\sphericalangle AC'B|=\gamma$, tak $|\sphericalangle A\check{S}B|=180^\circ-\gamma$. Trojuholník $A\check{S}B$ je rovnoramenný, a teda $|\sphericalangle \check{S}AB|=|\sphericalangle \check{S}BA| = \frac12{\gamma}$. Uhly $\check{S}AB$ a $\check{S}C'B$ sú obvodové uhly prislúchajúce k oblúku $\check{S}B$, teda sú zhodné. Keďže $|\sphericalangle \check{S}C'B|=\frac12{\gamma}$, tak priamka $C'\check{S}$ je os uhla $AC'B$. Úsečka $\check{S}N$ je priemer, z čoho vyplýva, že $|\sphericalangle \check{S}C'N|=90^\circ$. Vieme dopočítať, že $|\sphericalangle BC'N|= {90^\circ} - \frac12{\gamma}$ a $|\sphericalangle AC'X|= {90^\circ} - \frac12{\gamma}$ takisto. Dokázali sme, čo sme chceli a síce, že uhly $AC'X$ a $BC'N$ sú zhodné.

Teraz nájdeme bod $B'$, tak že body $B$ a $B'$ budú osovo súmerné podľa priamky $C'N$. Aká je najkratšia vzdialenosť medzi bodmi $A$ a $B'$? Jednoducho ich spojíme priamkou. Vieme, že táto priamka prechádza bodom $C'$, pretože uhly $AC'X$ a $NC'B'$ sú zhodné (sú vrcholové) a takisto uhly $BC'N$ a $NC'B'$ sú zhodné Úsečka $C'B'$ je rovnako dlhá ako $C'B$ (tieto dve úsečky sú osovo súmerné podľa priamky $C'N$). Najkratšia vzdialenosť z bodu $A$ na priamku a odtiaľ do bodu $B$ vedie práve cez bod $C'$. Cesta, ktorá vedie cez bod $N$ je od nej určite dlhšia, a teda trojuholník $ABN$ má väčší obvod ako trojuholník $ABC'$. Toto ale platí pre akýkoľvek bod $C'$, preto môžeme povedať, že trojuholník s najväčším obvodom je trojuholník $ABN$. Bod $N$ je teda náš hľadaný bod $C$.