Zadanie

Vedúci išli na nákupy. V Kópe predávajú šošovicu balenú po p21 zrnkách, kde p5 je prvočíšlo. Dokážte, že 24 vedúcich ši vie špravodlivo1 rozdeliť šošovicu bez ohľadu na to, ktoré balenie kúpia.


  1. T. j. každý vedúci doštane rovnako veľa zrniek šošovice.↩︎

Vzorové riešenie tejto úlohy si môžeš pozrieť aj ako video na našom YouTube kanáli https://www.youtube.com/KorMatSem.

Ako prvé si môžeme všimnúť, že p21 je rozdiel štvorcov, a teda si to vieme upraviť na (p1)(p+1). Teda nám stačí ukázať, že 24(p1)(p+1). Vieme, že číslo je deliteľné 24 práve vtedy, ak je deliteľné 3 a 8, keďže 38=24 a zároveň 3 a 8 sú nesúdeliteľné.

Môžeme si všimnúť, že p1 , p , p+1 sú tri po sebe idúce čísla, a teda práve jedno z nich bude deliteľné 3. Keďže p je prvočíslo (p5), tak nemôže byť deliteľné 3, teda buď p1 alebo p+1 je deliteľné 3. Takže sme ukázali, že 3(p1)(p+1).

Zároveň si môžeme všimnúť, že p1 a p+1 sú obidve párne čísla, keďže všetky prvočísla (p5) sú nepárne. Tu sa môžeme zamyslieť a skúsiť si k pôvodnej trojici čísiel pripísať ďalšie v rade, teda dostaneme p1, p, p+1, p+2. Teraz máme 4 po sebe idúce čísla, z ktorých práve jedno je deliteľné 4. Vieme, že p a p+2 sú nepárne, teda buď p1 alebo p+1 je deliteľné 4 a druhé z nich je deliteľné 2. Takže sme ukázali, že 8(p1)(p+1).

Z čoho, podľa našej prvej úvahy, vyplýva, že 24(p1)(p+1), a teda 24p21.

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.