10. Konečne Mám Šťastie vzorové riešenie

Označme si $G$ priesečník priamky $BT$ s osou strany $AB$. Trojuholník $ABG$ je rovnoramenný, preto platí

$$|\sphericalangle AGB| = 180^\circ - 2|\sphericalangle TBA| = 180^\circ - 2|\sphericalangle ACB| = 180^\circ - |\sphericalangle AOB|.$$ Keďže platí $OG \perp AB$ a zároveň $|\sphericalangle AGB| = 180^\circ - |\sphericalangle AOB|$, je $G$ ortocentrum trojuholníka $AOB$.

Nech $H$ je ortocentrum trojuholníka $ABC$. Označme $E$ priesečník výšky $AH$ s osou strany $AB$, teda priamkou $OG$. Stačí nám dokázať, že body $K$, $E$, $T$ ležia na priamke.

Uvažujme kužeľosečku $\mathcal{H}$ prechádzajúcu bodmi $A$, $B$, $C$, $H$, $O$. Táto kužeľosečka je zjavne hyperbolou. Platí, že hyperbola prechádzajúca bodmi $X$, $Y$, $Z$ je pravouhlá práve vtedy, keď na nej leží ortocentrum trojuholníka $XYZ$.¹ Keďže ortocentrum $H$ leží na $\mathcal{H}$ prechádzajúcej bodmi $A$, $B$, $C$, je táto hyperbola pravouhlá. To znamená, že na nej leží aj ortocentrum trojuholníka $AOB$, teda bod $G$.

Keďže body $A$, $H$, $C$, $O$, $G$, $B$ ležia na $\mathcal{H}$, môžeme použiť Pascalovu vetu² na šesťuholník $AHCOGB$ a tým dostávame, že $AH\cap OG = E$, $HC \cap GB = T$ a $CO \cap AB = K$ ležia na priamke, čo sme chceli dokázať.

Poznámky

Žiadne z odovzdaných riešení nešlo podľa vzorového a ani jedno z nich nebolo syntetické.

---

1. Ak nepoznáš, spoznaj tu https://davidaltizio.web.illinois.edu/geom-conics.pdf (Theorem 4.4).↩︎

2. Ak nepoznáš, spoznaj tu https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_theorem.↩︎