Počet bodov:
Popis:  10b

Keď dojedli, spokojne sa opreli vo svojich isu a uvoľnili si opasky. „Dočuj,“ povedal Jótaró. „Pomohol by si mi ešte s jedným problémom? Ak mi dáš pomocnú ruku, za odmenu ti prezradím zmysel života.“ Kubko poomáľal jeho ponuku na jazyku a nakoniec prikývol.

Sadli teda do Jótarovho auta a odviezli sa do akejsi podzemnej futuristickej základne. Všade monitory, herné konzoly, počítače, autá Nissan a hlavne rad obrovských robotov. „Problém je v tom, že nevieme dostať Shinjiho do robota,“ vysvetlil Jótaró. „On je totiž trošku divný a má takú podmienku, ktorú treba splniť, aby vstúpil do robota. Ja by som chcel vedieť, ktoré z týchto robotov podmienke vyhovujú. Tiež mi rovno pomôž niečo Shinjimu dokázať.“

Roboty sú číslované zaradom \(1\), \(2\), \(3\)…. Shinji si vymyslel špeciálnu funkciu \(f(x)\), ktorá zoberie binárny zápis1 čísla \(x\), vymení všetky jednotky za nuly a naopak, a prevedie výsledok do desiatkového zápisu, čo je jej funkčná hodnota pre \(x\). Napríklad \(f(23)=8\), lebo \(23=10111_2\), teda \(f(23)=01000_2=8_{10}\). Shinji potrebuje, aby ste dokázali, že pre každé kladné celé \(n\) platí nerovnosť \[f(1)+f(2)+\dots + f(n)\leq \frac{n^2}{4}\] Dokážte, že Shinjiho nerovnosť platí pre každé kladné celé číslo \(n\), a následne zistite, pre ktoré \(n\) platí rovnosť.


  1. binárny zápis je postupnosť \(0\) a \(1\) začínajúca \(1\) okrem prípadu, kedy \(f(x) = 0\)↩︎

Odovzdávanie

Na odovzdávanie sa musíš prihlásiť

Otázky a diskusia

Po skončení kola budete mať príležitosť na diskutovanie o riešeniach v diskusii pod vzorovým riešením.