Všetky \(4\) spriatelené armády – Al-Gebra, Geometria, Matematická Analýza a Teória Čísel – po úspešnom ťažení narazili na obranu hlavného mesta Kombistanu. Zrazu bolo všetkým jasné, na čo prefíkaní Kombistanci delili L-ká. Múry boli nepreniknuteľné. Bez ohľadu na počet vyslaných vojakov, vždy narazili na L-ko, na prekonanie ktorého potrebovali vojakov viac. Generál Kartezián si povedal, že to nemá zmysel a že potrebujú nekonečné množstvo posíl z Matematickej Ľudovo-demokratickej Analýzy. Tak na ne teraz v tábore čakajú.
Karteziánovi pripadalo zvláštne, že vojaci Geometrie stále držia pravidelné formácie. Nikdy ich neopúšťajú, nespia, nerozprávajú sa so spolubojovníkmi…
Každá formácia vojakov Geometrie pozostávala z \(k\) do seba vložených pravidelných \(n\)-uholníkov zdieľajúcich jeden vrchol, kde \(k\) a \(n\) sú kladné celé čísla a \(n \geq 3\). Každý vojak zhora vyzeral ako prázdny krúžok. Väčšina vojakov mali po dve ruky, no zopár anomálnych malo až tri. Týmito rukami pochytali iných vojakov, čo pri pohľade zhora vyzeralo ako čiary. Napríklad na obrázku 1 môžeme vidieť \(6\) pravidelných \(4\)-uholníkov na obrázku 2 môžeme vidieť \(5\) pravidelných \(5\)-uholníkov. V závislosti od \(n\) a \(k\) určte, či je možné zafarbiť vojakov danej formácie dvoma farbami tak, aby žiadni dvaja vojaci, ktorí sa držia, neboli rovnakej farby1. Zmení sa situácia, ak niektorý z vojakov odíde, pričom pustí tých druhov, ktorých predtým držal?
Vojaci sa držia len v prípade, že medzi nimi na čiare nestojí ďalší vojak.↩︎
Odovzdávanie
Na odovzdávanie sa musíš prihlásiť
Otázky a diskusia
Po skončení kola budete mať príležitosť na diskutovanie o riešeniach v diskusii pod vzorovým riešením.