Keďže trojuholník $ABC$ je ostrouhlý, sú body $O$, $E$ v rovnakej polrovine určenej priamkou $AB$ ako bod $C$. Stačí preto ukázať, že $|\sphericalangle BAE|=|\sphericalangle BAO|$. Riešenie si rozdelíme na dva prípady: keď bod $E$ leží mimo trojuholníka $ABC$ a keď leží v trohuholníku $ABC$. Začneme prípadom, že leží mimo trojuholníka $ABC$.

Keďže trojuholník $ABO$ je rovnoramenný, tak $|\sphericalangle BAO|=\frac{1}{2}(180^\circ-|\sphericalangle AOB|)=90^\circ-|\sphericalangle ACB|$. To platí preto, lebo uhol $ACB$ je obvodový k oblúku, ku ktorému je uhol $AOB$ stredový.

Uhly $BAE$ a $BDE$ sú obvodové uhly nad úsečkou $BE$, preto platí, že $|\sphericalangle BAE|=|\sphericalangle BDE|$. Z trojuholníka $BDE$ vieme, že $|\sphericalangle BDE|=180^\circ-|\sphericalangle DEB|-|\sphericalangle EBD|$. Keďže štvoruholník $BEDA$ je tetivový (čiže súčet jeho protiľahlých uhlov je $180$ stupňov), tak platí $180^\circ-|\sphericalangle DEB|=|\sphericalangle BAD|$. Po dosadení do predošlej rovnice dostávame $|\sphericalangle BDE| = |\sphericalangle BAD|-|\sphericalangle EBD|$, čo je to isté ako $|\sphericalangle BAD|-|\sphericalangle FBD|$ (označíme $F$ priesečník priamok $BE$ a $AD$). Preto dostávame rovnicu$$|\sphericalangle BAE| = |\sphericalangle BDE| =|\sphericalangle BAD|-|\sphericalangle FBD| \text{.}$$

Zo zadania vieme, že $|\sphericalangle BAD|=\frac{1}{2}|\sphericalangle BAC|$ a za pomoci trojuholníka $BDF$ vidíme, že $$|\sphericalangle BAD|-|\sphericalangle FBD|=\tfrac{1}{2}|\sphericalangle BAC|-180^\circ-(|\sphericalangle DFB|-|\sphericalangle BDF|) \text{.}$$ Zo zadania ďalej vieme, že uhol $DFB$ je pravý a uhly $BDF$ a $CDA$ sú vrcholové, preto platí aj následujúca rovnosť: $$\tfrac{1}{2}|\sphericalangle BAC|-180^\circ-(|\sphericalangle DFB|-|\sphericalangle BDF|)=\tfrac{1}{2}|\sphericalangle BAC|-(90^\circ-|\sphericalangle CDA|) \text{.}$$ Za pomoci trojuholníka $ACD$ môžeme pokračovať v úpravách $$\tfrac{1}{2}|\sphericalangle BAC|-(90^\circ-|\sphericalangle CDA|)=\tfrac{1}{2}|\sphericalangle BAC|-90^\circ+(180^\circ-|\sphericalangle DAC|-|\sphericalangle ACD|)\text{.}$$ Ďalej už vieme pokračovať jednoduchým upravovaním výrazov a prepísmenkovaním uhlov $$\tfrac{1}{2}|\sphericalangle BAC|+90-\tfrac{1}{2}|\sphericalangle BAC|-|\sphericalangle BCA|=90-|\sphericalangle BAC|=|\sphericalangle BAO|\text{.}$$ Ukázali sme teda, že uhly $BAE$ a $BAO$ majú rovnakú veľkosť, a preto body $A$, $E$, $O$ ležia na jednej priamke.

Ešte potrebujeme rozobrať prípad, že bod $E$ leží v trojuholníku $ABC$. Zvoľme si vo vnútri trojuholníka $ABC$ bod $M$ ležiaci na úsečke $AE$ taký, že $|MA|=|MB|$. O tomto bode sa budeme snažiť ukázať, že je zhodný s bodom $O$.

Veľkosť uhla $DAE$ si označme $x$. Z rovnosti obvodových uhlov nad tetivou $DE$ vieme, že aj uhol $DBE$ má veľkosť $x$. Vieme ďalej, že $|\sphericalangle DAB|=\frac{1}{2}|\sphericalangle BAC|$. Keďže trojuholník $AMB$ je rovnoramenný, tak $|\sphericalangle ABM|=\frac{1}{2}|\sphericalangle BAC|+x$.

Z trojuholníka $AMB$ dopočítame, že $|\sphericalangle AMB|=180^\circ-|\sphericalangle BAC|-2x$. Keďže uhly $AMB$ a $BME$ sú susedné, tak $|\sphericalangle BME|=|\sphericalangle BAC|+2x$. Pomocou trojuholníka $AFE$ zistíme, že $|\sphericalangle AEB|=|\sphericalangle AEF|=90^\circ-x$. Z trojuholníka $MBE$ dopočítame, že $|\sphericalangle MBE|=180^\circ-|\sphericalangle BME|-|\sphericalangle BEM|=90^\circ-|\sphericalangle BAC|-x$.

Sčítaním uhlov $ABM$, $MBE$ a $EBC$ dostaneme, že $$|\sphericalangle ABC|= (\tfrac12|\sphericalangle BAC| + x) + (90^\circ - x - |\sphericalangle BAC|) + (x) = 90^\circ-\tfrac{1}{2}|\sphericalangle BAC|+x.$$ Pomocou trojuholníka $ABC$ dostaneme, že $|\sphericalangle BCA|=180^\circ-|\sphericalangle BAC|-|\sphericalangle ABC|=90^\circ-\frac{1}{2}|\sphericalangle BAC|-x$.

Vidíme, že veľlkosť uhla $AMB$ je dvojnásobkom veľkosti uhla $ACB$. Kedže uhol $ACB$ je obvodový uhol na kružnici opísanej trojuholníku $ABC$ k oblúku $AB$, tak uhol $AMB$ musí byť stredový uhol k tomuto oblúku (je to aj vďaka tomu, že $|MA| = |MB|)$. Z toho už vyplýva, že bod $M$ je stredom kružnice opísanej trojuholníku $ABC$, a preto je zhodný s bodom $O$. Bod $M$ bol zvolený tak, aby ležal na úsečke $AE$ a teda aj bod $O$ na nej leží, čiže body $A$, $E$, $O$ ležia na jednej priamke.